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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2009大阪府立大 工学部 数学3



第3問

  点O(0,0,0)を原点とする座標空間の4点A(-1,0,3)、
  B(1,-1,-1)、C(-1,-4,3)、D(4,1,-2)の位置ベクトル
  をそれぞれ$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\ ,\ \overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$ とする。また、2つのベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ の
  両方に垂直な単位ベクトルを$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}\end{align*}}$ とし、2つのベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\ ,\ \overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$ の両方に
  垂直な単位ベクトルを$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf f}\end{align*}}$ とする。さらに、空間内に点Pがあり、点Pの
  位置ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$ は
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$ =$\small\sf{\alpha}$ $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ +$\small\sf{\beta}$ $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ +$\small\sf{\gamma}$ $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$   ($\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ 、γは定数)
  であるとする。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}\ ,\ \overrightarrow{\sf f}\end{align*}}$ を成分表示せよ。

 (2) 実数s、t、uに対して、等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf |s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}+u\overrightarrow{\sf e}|^2=|s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}|^2+u^2\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。

 (3) 空間内に点Qがあり、点Qの位置ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf q}\end{align*}}$ は
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf q}=s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$   (s、tは実数)
    であるとする。実数s、tを動かすとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf PQ}|\end{align*}}$ の最小値は|$\small\sf{\gamma}$ |で
    あることを示せ。この最小値を点Pと平面OABの距離という。ただし、
    平面OABとは3点O、A、Bを通る平面である。

 (4) 点Pと平面OABとの距離を内積$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf e}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (5) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$ の成分表示を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}=(L\ ,\ m\ ,\ n)\end{align*}}$ とする。点Pと平面OCDとの距離が
    点Pと平面OABとの距離に等しくなるための必要十分条件をL、m、
    nを用いて表せ。


(3の(1)については計算の過程を記入しなくてよい。)


テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2012/03/04(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 中期 2009(工)
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