2009大阪府立大 工学部 数学３

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【解答】

　(1)　　　
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}=(e_x\ ,\ e_y\ ,\ e_z)\end{align*}}$　とおくと、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf e}|^2=e_x^{\ 2}+e_y^{\ 2}+e_z^{\ 2}=1\end{align*}}$　　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}\cdot\overrightarrow{\sf a}=-e_x+3e_z=0\end{align*}}$　　　　　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}\cdot\overrightarrow{\sf b}=e_x-e_y-e_z=0\end{align*}}$　　　　　
　　　これらを連立させて解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}=\underline{\ \pm\frac{1}{\sqrt{14}}\ (3\ ,\ 2\ ,\ 1)\ \ }\end{align*}}$

　　　同様に、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf f}=(f_x\ ,\ f_y\ ,\ f_z)\end{align*}}$　とおくと、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf f}|^2=f_x^{\ 2}+f_y^{\ 2}+f_z^{\ 2}=1\end{align*}}$　　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf f}\cdot\overrightarrow{\sf c}=-f_x-4f_y+3f_z=0\end{align*}}$　　　　　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf f}\cdot\overrightarrow{\sf d}=4f_x+f_y-2f_z=0\end{align*}}$　　　　　
　　　これらを連立させて解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf f}=\underline{\ \pm\frac{1}{\sqrt{14}}\ (1\ ,\ 2\ ,\ 3)\ \ }\end{align*}}$


　(2)
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\ s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}+u\overrightarrow{\sf e}\ |^2\end{align*}}$　　
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\ s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}\ |^2+2\left(\ s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}\ \right)\cdot\ u\overrightarrow{\sf e}+|\ u\overrightarrow{\sf e}\ |^2\end{align*}}$　　
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\ s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}\ |^2+2su\ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf e}+2tu\ \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf e}+u^2\ |\ \overrightarrow{\sf e}\ |^2\end{align*}}$　････(A)　
　　　ここで、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf e}=0\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf e}=0\ \ ,\ \ |\ \overrightarrow{\sf e}\ |=1\end{align*}}$　････①
　　　なので、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (A)=|\ s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}\ |^2+u^2\end{align*}}$　


　(3)
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\ \overrightarrow{\sf PQ}\ |^2=|\ \overrightarrow{\sf OQ}-\overrightarrow{\sf OP}\ |^2\end{align*}}$　　
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\ (s-\alpha)\overrightarrow{\sf a}+(t-\beta)\overrightarrow{\sf b}-\gamma\overrightarrow{\sf e}\ |^2\end{align*}}$　　
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\ (s-\alpha)\overrightarrow{\sf a}+(t-\beta)\overrightarrow{\sf b}\ |^2+\gamma^2\end{align*}}$　←(2)より
　　　ここで、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\ (s-\alpha)\overrightarrow{\sf a}+(t-\beta)\overrightarrow{\sf b}\ |^2\geqq 0\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\ \overrightarrow{\sf PQ}\ |^2\geqq \gamma^2\end{align*}}$ ．
　　　よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\ \overrightarrow{\sf PQ}\ |\end{align*}}$ の最小値は |$\scriptsize\sf{\gamma}$ | となる。


　(4)
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf e}=(\alpha\overrightarrow{\sf a}+\beta\overrightarrow{\sf b}+\gamma\overrightarrow{\sf e})\cdot\overrightarrow{\sf e}\end{align*}}$　　
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\alpha\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf e}+\beta\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf e}+\gamma\ |\overrightarrow{\sf e}|^2\end{align*}}$　　
　　　ここで、①より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf e}=\gamma\end{align*}}$　　
　　　となるので、点Pと平面ＯABの距離をd₁とおくと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d_1=|\gamma|=\underline{\ |\ \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf e}\ |\ \ }\end{align*}}$　　


　(5)
　　　点Pと平面ＯCDの距離をd₂とおくと、(4)と同様にして
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d_2=|\ \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf f}\ |\end{align*}}$　　
　　　が得られる。よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d_1=d_2\ \ \Leftrightarrow\ \ |\ \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf e}\ |^2=|\ \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf f}\ |^2\end{align*}}$　　
　　　これに(1)で得られた成分および、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}=(L\ ,\ m\ ,\ n)\end{align*}}$
　　　を代入して計算すると、
　　　　　　　|3L+2ｍ+ｎ|=|L+2ｍ+3ｎ|
　　　　　⇔　3L+2ｍ+ｎ=±(L+2ｍ+3ｎ)
　　　　　⇔　 L+ｍ+ｎ=0　または　L=ｎ



　　これはそのまま誘導に乗って計算するだけですね。
　　簡単簡単！