第4問
実数を係数にもつ整式A(x)を$\small\sf{\begin{align*}\sf x^2+1\end{align*}}$ で割った余りとして得られる整式を$\small\sf{\begin{align*}\sf \left[ A(x)\right]\end{align*}}$ と表す。
(1) $\small\sf{\begin{align*}\sf \left[2x^2+x+3\right]\ ,\ \ \left[x^5-1\right]\ ,\ \ \big[\left[2x^2+x+3\right]\left[x^5-1\right]\big]\end{align*}}$ をそれぞれ求めよ。
(2) 整式A(x)、B(x)に対して、次の等式が成り立つことを示せ。
$\small\sf{\begin{align*}\sf \left[A(x)\ B(x)\right]=\big[\left[A(x)\right]\left[B(x)\right]\big]\end{align*}}$
(3) 実数$\small\sf{\begin{align*}\sf \theta\end{align*}}$ に対して、次の等式が成り立つことを示せ。
$\small\sf{\begin{align*}\sf \big[\left(x\sin \theta+\cos\theta\right)^2\big]=x\sin 2\theta+\cos2\theta\end{align*}}$
(4) 次の等式を満たす実数a、bの組(a，b)をすべて求めよ。
$\small\sf{\begin{align*}\sf \big[\left(ax+b\right)^4\big]=-1\end{align*}}$
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2x^2+x+3=2(x^2+1)+x+1 \end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\left[2x^2+x+3\right]=\underline{x+1}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^5-1=(x^2+1)(x^3-x)+x-1 \end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\left[x^5-1\right]=\underline{x-1}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (x+1)(x-1)=(x^2+1)-2 \end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\big[\left[2x^2+x+3\right]\left[x^5-1\right]\big]=\underline{-2}}$
(2)
A(x)、B(x)を$\scriptsize\sf{x^2+1}$ で割ったときの商をそれぞれp(x)、q(x)とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A(x)\ B(x)&=\sf \left\{(x^2+1)p(x)+\left[A(x)\right]\right\}\left\{(x^2+1)q(x)+\left[B(x)\right]\right\} \\ &=\sf \underline{(x^2+1)^2p(x)q(x)+(x^2+1)\left\{p(x)\left[B(x)\right]+q(x)\left[A(x)\right]\right\}}+\left[A(x)\right]\left[B(x)\right] \end{align*}}$
上式の下線部は$\scriptsize\sf{x^2+1}$ で割り切れるので、
$\scriptsize\sf{ \left[A(x)\ B(x)\right]=\big[\left[A(x)\right]\left[B(x)\right]\big]}$
が成り立つ。
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}&\sf \big[\left(x\sin \theta+\cos\theta\right)^2\big]\\=&\sf \big[x^2\sin^2 \theta+2x\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta\big] \\=&\sf\big[(x^2+1)\sin^2 \theta+2x\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta-\sin^2 \theta\big] \\=&\sf 2x\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta-\sin^2 \theta\\=&\sf x\sin 2\theta+\cos2\theta\end{align*}}$
(4)
$\scriptsize\sf{(a\ ,\ b)\ne(0\ ,\ 0)}$ より
$\scriptsize\sf\begin{align*}\sf ax+b=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\end{align*}{}$
と変形でき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r=\sqrt{a^2+b^2}\ (\gt 0)\ ,\ \ \sin\theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\ ,\ \ \cos\theta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\ \ \ \left(0\leqq\theta\lt 2\pi\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \big[\left(ax+b\right)^4\big]&=\sf \big[r^4\left(x\sin\theta+\cos\theta\right)^4\big] \\ &=\sf r^4\bigg[\big[\left(x\sin\theta+\cos\theta\right)^2\big]^2\bigg]\ \ \ \left(\because\ (2)\right)\\ &=\sf r^4\big[\left(x\sin2\theta+\cos2\theta\right)^2\big]\ \ \ \left(\because\ (3)\right)\\ &=\sf r^4\left(x\sin4\theta+\cos4\theta\right)\ \ \ \left(\because\ (3)\right) \end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \big[\left(ax+b\right)^4\big]=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ r^4\left(x\sin4\theta+\cos4\theta\right)=1\cdot\left(x\sin\pi+\cos\pi\right)\end{align*}}$
これがxについての恒等式なので、係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{r^4=1\ \ \Leftrightarrow\ \ r=1\ (\gt 0)}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 4\theta=\pi+2n\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\frac{\pi}{4}+\frac{n}{2}\pi\end{align*}}$ （ｎ：整数）
$\scriptsize\sf{0\leqq\theta\lt 2\pi}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \theta=\frac{\pi}{4}\ ,\ \frac{3}{4}\pi\ ,\ \ \frac{5}{4}\pi\ ,\ \ \frac{7}{4}\pi\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(a\ ,\ b\right)=\left(r\sin\theta\ ,\ r\cos\theta\right)=\underline{\pm\left(\frac{1}{\sqrt2}\ ,\ \frac{1}{\sqrt2}\right)} \end{align*}}$ （複号任意）
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/04/16(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2019
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