第6問
10個の玉が入っている袋から1個の玉を無作為に取り出し、新たに白玉1個を袋に入れる
という試行を繰り返す。初めに、袋には赤玉5個と白玉5個が入っているとする。この試行を
m回繰り返したとき、取り出した赤玉が全部でk個である確率を$\small\sf{p(m,k)}$ とする。2以上の
整数nに対して、以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{p(n+1,2)}$ を$\small\sf{p(n,2)}$ と$\small\sf{p(n,1)}$ を用いて表せ。
(2) $\small\sf{p(n,1)}$ を求めよ。
(3) $\small\sf{p(n,2)}$ を求めよ。
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【解答】
m回の試行の後に取り出した赤玉の合計を$\scriptsize\sf{N(m)}$ と表すことにする。
(1)
$\scriptsize\sf{N(n+1)=2}$ となるのは次の2つの場合がある。
・$\scriptsize\sf{N(n)=1}$ の状態（袋の中は赤4個と白6個）から、赤を取り出す。
・$\scriptsize\sf{N(n)=2}$ の状態（袋の中は赤3個と白7個）から、白を取り出す。
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p(n+1,2)=\underline{\frac{2}{5}p(n,1)+\frac{7}{10}p(n,2)}\end{align*}}$
(2)
1～n回の試行のうちでただ1度だけ赤玉を取り出せばよい。
k回目だけ赤玉を取り出したとすると、
・1～$\scriptsize\sf{k-1}$ 回目の試行は、赤5個、白5個が入った袋から白玉
・k回目の試行は、赤5個、白5個が入った袋から赤玉
・k+1～n回目の試行は、赤4個、白6個が入った袋から白玉
を取り出せばよいので、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{5}{10}\right)^{k-1}\cdot\frac{5}{10}\cdot\left(\frac{6}{10}\right)^{n-k}=\left(\frac{3}{5}\right)^{n}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{k} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{k=1,2,\cdots ,n}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p(n,1)&=\sf\sum_{k=1}^n\left(\frac{3}{5}\right)^{n}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{k} \\ &=\sf\left(\frac{3}{5}\right)^{n}\cdot\frac{\frac{5}{6}\left\{1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n}\right\}}{1-\frac{5}{6}} \\ &=\sf \underline{5\left\{\left(\frac{3}{5}\right)^{n}-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right\}}\end{align*}}$
(3)
(1)、(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p(n+1,2)=\frac{7}{10}p(n,2)+2\left\{\left(\frac{3}{5}\right)^{n}-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right\} \end{align*}}$ ･･････(i)
ここで、(i)が
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p(n+1,2)+a\left(\frac{3}{5}\right)^{n+1}+b\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}=\frac{7}{10}\left\{p(n,2)+a\left(\frac{3}{5}\right)^{n}+b\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right\}\end{align*}}$ ･･････(ii)
のように変形できたとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (ii)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf p(n+1,2)+\frac{3a}{5}\left(\frac{3}{5}\right)^{n}+\frac{b}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=\frac{7}{10}p(n,2)+\frac{7a}{10}\left(\frac{3}{5}\right)^{n}+\frac{7b}{10}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf p(n+1,2)=\frac{7}{10}p(n,2)+\frac{a}{10}\left(\frac{3}{5}\right)^{n}+\frac{b}{5}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \end{align*}}$
(i)、(ii)の係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2=\frac{a}{10}\ \ \Leftrightarrow\ \ a=20\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -2=\frac{b}{5}\ \ \Leftrightarrow\ \ b=-10\end{align*}}$
となるので、(i)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p(n+1,2)+20\left(\frac{3}{5}\right)^{n+1}-10\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}=\frac{7}{10}\left\{p(n,2)+20\left(\frac{3}{5}\right)^{n}-10\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right\}\end{align*}}$
これより、数列$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left\{p(n,2)+20\left(\frac{3}{5}\right)^{n}-10\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right\}\end{align*}}$ は等比数列をなすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p(n,2)+20\left(\frac{3}{5}\right)^{n}-10\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=\left(\frac{7}{10}\right)^{n-2}\left\{p(2,2)+20\left(\frac{3}{5}\right)^{2}-10\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p(2,2)=\frac{5}{10}\cdot\frac{4}{10}=\frac{1}{5}\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p(n,2)=\underline{10\left(\frac{7}{10}\right)^{n}-20\left(\frac{3}{5}\right)^{n}+10\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/04/18(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2019
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