第2問
aを1ではない正の実数とし、nを正の整数とする。次の不等式を考える。
$\small\sf{\begin{align*}\sf \log_a\left(x-n\right)\gt\frac{1}{2}\log_a\left(2n-x\right)\end{align*}}$
(1) n=6のとき、この不等式を満たす整数xをすべて求めよ。
(2) この不等式を満たす整数xが存在するためのnについての必要十分条件を求めよ。
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【解答】
真数条件
$\scriptsize\sf{x-n\gt 0}$ かつ $\scriptsize\sf{12-x\gt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ n\lt x\lt 2n\ \ \ \cdots\cdots (*)}$
与式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\log_a\left(x-n\right)\gt\frac{1}{2}\log_a\left(2n-x\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log_a\left(x-n\right)^2\gt\log_a\left(2n-x\right) \ \ \ \cdots\cdots (**)\end{align*}}$
と変形できる。
(1)
n=6のとき、
$\scriptsize\sf{(*)\ \ \Leftrightarrow\ \ 6\lt x\lt 12}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (**)\ \ \Leftrightarrow\ \ \log_a\left(x-6\right)^2\gt\log_a\left(12-x\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (i)\ a\gt 1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(x-6\right)^2\gt 12-x&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2-11x+24\gt 0 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x\lt 3\ ,\ \ 8\lt x \end{align*}}$
xは整数なので、$\scriptsize\sf{\underline{x=9,\ 10,\ 11}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (ii)\ 0\lt a\lt 1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(x-6\right)^2\lt 12-x\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 3\lt x \lt 8 \end{align*}}$
xは整数なので、真数条件を考慮に入れると$\scriptsize\sf{\underline{x=7}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)&=\sf (x-n)^2-(2n-x) \end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(n)=(n-n)^2-(2n-n)=-n\lt 0 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(2n)=(2n-n)^2-(2n-2n)=n^2\gt 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (i)\ a\gt 1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (**)\ \ \Leftrightarrow\ \ f(x)\gt 0\end{align*}}$
これが(*)の範囲に整数解をもつためには
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(2n-1)\gt 0&\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (2n-1-n)^2-(2n-2n+1)\gt 0\sf \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf n^2-2n\gt 0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf n\gt 2\ \ \ (\because\ n\gt 0)\end{align*}}$
であればよい。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (ii)\ 0\lt a\lt 1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (**)\ \ \Leftrightarrow\ \ f(x)\lt 0\end{align*}}$
これが(*)の範囲に整数解をもつためには
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(n+1)\lt 0&\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ (n+1-n)^2-(2n-n-1)\lt 0\sf \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf n\gt 2\end{align*}}$
であればよい。
以上より、いずれの場合も求める条件は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{n\gt 2}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/04/14(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2019
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