第1問
xy平面における曲線$\small\sf{y=\sin x}$ の2つの接線が直交するとき、その交点のy座標の値を
すべて求めよ。
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【解答】
接点のx座標をp、qとおくと、$\scriptsize\sf{\left(\sin x\right)'=\cos x}$ より接線の傾きはそれぞれ$\scriptsize\sf{\cos p\ ,\ \ \cos q}$
となる。2接線が直交するので、
$\scriptsize\sf{\cos p\cdot \cos q=-1}$
$\scriptsize\sf{-1\leqq \cos p\leqq 1\ ,\ \ -1\leqq \cos q\leqq 1}$ なので、$\scriptsize\sf{\cos p\geqq \cos q}$ とすると、
$\scriptsize\sf{\cos p=1\ ,\ \ \cos q=-1}$
よって、p、qは整数m、Mを用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=2m\pi\ ,\ \ q=(2M+1)\pi\end{align*}}$
と表せるので、2接線の方程式はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=x-2m\pi\ ,\ \ y=-x+(2M+1)\pi\end{align*}}$
これらの交点の座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x-2m\pi=-x+(2M+1)\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{2m+2M+1}{2}\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{2m+2M+1}{2}\pi-2m\pi=\frac{2(M-m)+1}{2}\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n=M-m\end{align*}}$ （整数）とおくと、交点のy座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\underline{\frac{2n+1}{2}\pi}\end{align*}}$
の形で表せる。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/04/13(土) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2019
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