第3問
数列$\small\sf{\left\{a_n\right\}}$ を次の漸化式によって定める。
$\small\sf{a_1=1\ ,\ \ a_2=3\ ,\ \ a_{n+2}a_n=2a_{n+1}^2\ \ \ (n=1,2,3,\cdots)}$
(1) すべての正の整数nについて、$\small\sf{a_n}$ は正であることを示せ。
(2) 一般項$\small\sf{a_n}$ を求めよ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{a_n\gt 0}$ であることを数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1，2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_1=1\gt 0\ ,\ \ a_2=3\gt 0\end{align*}}$ よりOK
(ⅱ) $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n=k,\ k+1\end{align*}}$ に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_k\gt 0\ ,\ \ a_{k+1}\gt 0 \end{align*}}$
が成り立つと仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{k+2}a_k=2a_{k+1}^2\ \ \Leftrightarrow\ \ a_{k+2}=\frac{2a_{k+1}^2}{a_k}\gt 0 \end{align*}}$
となり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n=k+2\end{align*}}$ のときも成り立つ。
以上より、すべての正の整数nに対して$\scriptsize\sf{a_n\gt 0}$ である。
(2)
(1)より$\scriptsize\sf{a_n\gt 0}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n=\log_2a_n\ \ \ (n=1,2,3,\cdots)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_1=\log_21=0\ ,\ \ \ b_2=\log_23 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log_2\left(a_{n+2}a_n\right)=\log_2\left(2a_{n+1}^2\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log_2a_{n+2}+\log_2a_{n}=\log_22+2\log_2a_{n+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+2}+b_{n}=2b_{n+1}+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+2}-b_{n+1}=b_{n+1}-b_{n}+1\end{align*}}$
となるので、数列$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left\{b_{n+1}-b_{n}\right\}\end{align*}}$ は公差1の等差数列をなす。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_{n+1}-b_n= b_2-b_1+(n-1)= n-1+\log_23\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{n\geqq 2}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n&=\sf b_1+\sum_{k=1}^{n-1}\left(k-1+\log_23\right) \\ &=\sf \frac{1}{2}(n-1)(n-2)+(\log_23)(n-1)\end{align*}}$
これは$\scriptsize\sf{n=1}$ のときも成り立つ。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n&=\sf 2^{b_n} \\ &=\sf 2^{\frac{1}{2}(n-1)(n-2)+(\log_23)(n-1)}\\ &=\sf \underline{\left(\sqrt2\right)^{(n-1)(n-2)}\cdot 3^{n-1}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/04/11(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 文系 2019
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