第13問
aは実数とする。座標平面上で連立不等式
$\small\sf{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}\sf y\geqq x^2\\ \sf y\leqq (2a+3)x-a(a+3) \end{array} \right.\end{eqnarray}}$
の表す領域をD(a)とおく。いま、x座標もy座標も整数であるような点を格子点と
呼ぶことにする。
(1) nを整数とする。このときD(n)に含まれる格子点の個数を求めよ。
(2) 任意の実数aについて、D(a)に含まれる格子点の個数とD(a+1)に含まれる
格子点の個数は等しいことを示せ。
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【解答】
領域D(a)に含まれる格子点の個数をN(a)と表す。
また、xを超えない最大の整数を[x]と表す。
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=x^2 \ ,\ \ g_n(x)=(2n+3)x-n(n+3)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g_n(x)-f(x)&=\sf (2n+3)x-n(n+3)-x^2 \\ &=\sf -(x-n)(x-n-3) \end{align*}}$
直線$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=g_n(x)\end{align*}}$ と曲線$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=f(x)\end{align*}}$ の共有点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g_n(x)-f(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=n\ ,\ n+3\end{align*}}$
となり、領域D(n)は右図のようになる。
任意の整数nに対して$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g_n(n)\ ,\ f(n)\end{align*}}$ はともに整数なので、
・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=n\end{align*}}$ である格子点の個数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g_n(n)-f(n)+1=1\end{align*}}$ 個
・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=n+1\end{align*}}$ である格子点の個数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g_n(n+1)-f(n+1)+1=3\end{align*}}$ 個
・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=n+2\end{align*}}$ である格子点の個数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g_n(n+2)-f(n+2)+1=3\end{align*}}$ 個
・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=n+3\end{align*}}$ である格子点の個数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g_n(n+3)-f(n+3)+1=1\end{align*}}$ 個
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf N(n)=1+3+3+1=\underline{8}\end{align*}}$
(2)
(ⅰ) aが整数のときは、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf N(a)=N(a+1)=8 \end{align*}}$
(ⅱ) aが整数でないとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k\lt a\lt k+1 \end{align*}}$ となる自然数を考える。
まず、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g_a(x)=(2a+3)x-a(a+3)\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g_a(x)-f(x)= (x-a)(a+3-x) \end{align*}}$
直線$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=g_a(x)\end{align*}}$ と曲線$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=f(x)\end{align*}}$ の共有点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g_a(x)-f(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=a\ ,\ a+3\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{a\lt k+1\lt k+2\lt k+3\lt a+3}$
任意の整数nに対して$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(n)\end{align*}}$ は整数なので、
・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=k+1\end{align*}}$ である格子点の個数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \big[ g_a(k+1)\big]-f(k+1)+1&=\sf \big[ g_a(k+1)-f(k+1)\big]+1\\ &=\sf \big[ (k-a+1)(a-k+2)\big]+1\end{align*}}$
・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=k+2\end{align*}}$ である格子点の個数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \big[ g_a(k+2)\big]-f(k+2)+1=\big[ (k-a+2)(a-k+1)\big]+1\end{align*}}$
・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=k+3\end{align*}}$ である格子点の個数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \big[ g_a(k+3)\big]-f(k+3)+1=\big[ (k-a+3)(a-k)\big]+1\end{align*}}$
以上より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf N(a)=\big[ (k-a+1)(a-k+2)\big]+\big[ (k-a+2)(a-k+1)\big]+\big[ (k-a+3)(a-k)\big]+3 \end{align*}}$
一方、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g_{a+1}(x)=(2a+5)x-(a+1)(a+4)\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g_{a+1}(x)-f(x)= (x-1-a)(a+4-x) \end{align*}}$
直線$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=g_{a+1}(x)\end{align*}}$ と曲線$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=f(x)\end{align*}}$ の共有点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g_{a+1}(x)-f(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=a+1\ ,\ a+4\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{a+1\lt k+2\lt k+3\lt k+4\lt a+4}$
任意の整数nに対して$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(n)\end{align*}}$ は整数なので、
・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=k+2\end{align*}}$ である格子点の個数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \big[ g_{a+1}(k+2)\big]-f(k+2)+1=\big[ (k-a+1)(a-k+2)\big]+1\end{align*}}$
・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=k+3\end{align*}}$ である格子点の個数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \big[ g_{a+1}(k+3)\big]-f(k+3)+1=\big[(k-a+2)(a-k+1)\big]+1\end{align*}}$
・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=k+4\end{align*}}$ である格子点の個数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \big[ g_{a+1}(k+4)\big]-f(k+4)+1=\big[ (k-a+3)(a-k)\big]+1\end{align*}}$
以上より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf N(a+1)=\big[ (k-a+1)(a-k+2)\big]+\big[ (k-a+2)(a-k+1)\big]+\big[ (k-a+3)(a-k)\big]+3 \end{align*}}$
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf N(a)=N(a+1)\end{align*}}$ となるので、題意は示された。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/04/08(月) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .千葉大 2019
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