第10問
座標平面上の円Cは、点(0，0)を通り、中心が直線x+y=0上にあり、さらに双曲線
xy=1と接する。このとき、円Cの方程式を求めよ。ただし、円と双曲線が接するとは、
その点における円の接線と双曲線の接線が一致することをいう。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
円Cの中心の座標を$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\left(p,-p\right) \end{align*}}$ とおくと、Cは原点を通るので、半径は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OP=\sqrt{p^2+(-p)^2}=\sqrt2\ |p|\end{align*}}$
これより、Cの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(x-p\right)^2+\left(y+p\right)^2=2p^2\end{align*}}$
と表せる。
接点は双曲線上にあるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T\left(s,\ \frac{1}{s}\right)\end{align*}}$ と表すことができ、TはC上にもあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(s-p\right)^2+\left(\frac{1}{s}+p\right)^2=2p^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s^4-2ps^3+2ps+1=0\ \ \ \cdots\cdots\cdots (i)\end{align*}}$
また、TにおけるCの接線の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(s-p\right)\left(x-p\right)+\left(\frac{1}{s}+p\right)\left(y+p\right)=2p^2\end{align*}}$
であり、この傾きは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{s-p}{\frac{1}{s}+p}=-\frac{s(s-p)}{ps+1}\ \ \ \cdots\cdots\cdots (*)\end{align*}}$
一方、双曲線$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{1}{x}\end{align*}}$ の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y'=-\frac{1}{x^2}\end{align*}}$
なので、Tにおける双曲線の接線の傾きは$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{1}{s^2}\end{align*}}$
であり、これが(*)と一致するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{s(s-p)}{ps+1}=-\frac{1}{s^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s^4-ps^3-ps-1=0\ \ \ \cdots\cdots\cdots (ii)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{(i)-(ii)}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -ps^3+3ps+2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\frac{2}{s^3-3s}=\frac{2}{s(s^2-3)}\ \ \ \cdots\cdots\cdots (iii)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (ii)\end{align*}}$ に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s^4-\frac{2s^3}{s^3-3s}-\frac{2s}{s^3-3s}-1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ s^6-3s^4-3s^2+1=0 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(s^2+1\right)\left(s^4-4s^2+1\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s^2=2\pm\sqrt3\ \ (\gt 0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cdot\ s^2=2+\sqrt3\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s&=\sf \pm\sqrt{2+\sqrt3} \\ &=\sf \pm\frac{\sqrt{4+2\sqrt3}}{\sqrt2}\\ &=\sf\pm\frac{\sqrt3+1}{\sqrt2} \end{align*}}$
このとき$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (iii)\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=\frac{2}{\pm\frac{\sqrt3+1}{\sqrt2}\left(2+\sqrt3-3\right)}=\pm\sqrt2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cdot\ s^2=2-\sqrt3\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s&=\sf \pm\sqrt{2-\sqrt3} \\ &=\sf \pm\frac{\sqrt{4-2\sqrt3}}{\sqrt2}\\ &=\sf\pm\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2} \end{align*}}$
このとき$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (iii)\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=\frac{2}{\pm\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2}\left(2-\sqrt3-3\right)}=\mp\sqrt2\end{align*}}$
以上より、円Cの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\left(x-\sqrt2\right)^2+\left(y+\sqrt2\right)^2=4\ ,\ \ \left(x+\sqrt2\right)^2+\left(y-\sqrt2\right)^2=4}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/04/05(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .千葉大 2019
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
