第9問
コインが5枚ある。さいころを振って出た目によって、これらのコインを1枚ずつ
3つの箱A、B、Cに入れていく。出た目が1であればコインを1枚、箱Aに入れる。
出た目が2か3であればコインを1枚、箱Bに入れる。出た目が4か5か6であれば
コイン1枚、箱Cに入れる。さいころを5回振ったとき、次の問いに答えよ。
(1) 箱Aと箱Bにコインがそれぞれちょうど2枚ずつ入っている確率を求めよ。
(2) A、B、Cいずれの箱にもコインが1枚以上入っている確率を求めよ。
(3) 試行の後に箱Aを開けるとちょうど2枚のコインが入っていた。このとき箱Bに
コインがちょうど2枚入っている確率を求めよ。
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【解答】
さいころを1回振ったとき、
1の目が出る事象をa
2か3の目が出る事象をb
4か5か6の目が出る事象をc
とする。
(1)
5回のうち、事象aが2回、事象bが2回、事象cが1回起こればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot\left(\frac{2}{6}\right)^2\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{5!}{2!\cdot 2!}=\underline{\frac{5}{108}} \end{align*}}$
(2)
箱Aに1枚も入らないのは、5回ともbかcが起こるときで、その確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left(\frac{5}{6}\right)^5\end{align*}}$
箱Bに1枚も入らないのは、5回ともaかcが起こるときで、その確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left(\frac{4}{6}\right)^5\end{align*}}$
箱Cに1枚も入らないのは、5回ともaかbが起こるときで、その確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left(\frac{3}{6}\right)^5\end{align*}}$
箱Aにも箱Bにも1枚も入らないのは、5回ともcが起こるときで、その確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left(\frac{3}{6}\right)^5\end{align*}}$
箱Bにも箱Cにも1枚も入らないのは、5回ともaが起こるときで、その確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left(\frac{1}{6}\right)^5\end{align*}}$
箱Cにも箱Aにも1枚も入らないのは、5回ともbが起こるときで、その確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left(\frac{2}{6}\right)^5\end{align*}}$
よって、余事象を考えると、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-\left\{\left(\frac{5}{6}\right)^5+\left(\frac{4}{6}\right)^5+\left(\frac{3}{6}\right)^5-\left(\frac{3}{6}\right)^5-\left(\frac{1}{6}\right)^5-\left(\frac{2}{6}\right)^5\right\}=\underline{\frac{305}{648}}\end{align*}}$
(3)
箱Aに2枚入るのは、5回のうちaが2回、bかcが2回起こるときで、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^3\cdot\frac{5!}{2!\ 3!}=\frac{625}{3888}\end{align*}}$
よって、求める条件付き確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\frac{5}{108}}{\frac{625}{3888}}=\underline{\frac{36}{125}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/04/04(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .千葉大 2019
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