第2問
次の関数のグラフに関する以下の問いに答えよ。ただし、mは実数とする。
$\small\sf{y=|x^2-2mx|-m}$
(1) m=1のときのグラフの概形をかけ。
(2) グラフとx軸の共有点の個数を求めよ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{m=1}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=|x^2-2x|-1 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{(i)\ x^2-2x\gt 0}$ すなわち$\scriptsize\sf{x\lt 0\ ,\ 2\gt x}$ のとき
$\scriptsize\sf{y=x^2-2x-1=\left(x-1\right)^2-2}$
$\scriptsize\sf{(ii)\ x^2-2x\leqq 0}$ すなわち$\scriptsize\sf{0\leqq x\leqq 2}$ のとき
$\scriptsize\sf{y=-\left(x^2+2x\right)-1=-\left(x-1\right)^2}$
これを図示すると右図のようになる。
(2)
グラフとx軸との共有点の個数をMとおく。
(Ⅰ) m=0のとき
$\scriptsize\sf{y=x^2}$
となり、x軸とは原点のみを共有するので、M=1個
(Ⅱ) m≠0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=|x^2-2mx|-m \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{(i)\ x^2-2mx\gt 0}$ であるxに対して
$\scriptsize\sf{y=x^2-2mx-m=\left(x-m\right)^2-m^2-m}$
$\scriptsize\sf{(ii)\ x^2-2mx\leqq 0}$ であるxに対して
$\scriptsize\sf{y=-\left(x^2+2mx\right)-m=-\left(x-m\right)^2+m^2-m}$
ここで極大・極小となるグラフ上の点を
$\scriptsize\sf{A(m,\ m^2-m)\ ,\ \ B(0,\ -m)\ ,\ \ C(2m,\ -m)}$
とすると、グラフの概形は下図のいずれかになる。
・A、B、Cがすべてx軸の上側にあるのは
$\scriptsize\sf{m^2-m\gt 0}$ かつ $\scriptsize\sf{-m\gt 0}$
すなわち、$\scriptsize\sf{m\lt 0}$ のときであり、このときM=0
・A、B、Cがすべてx軸の下側にあるのは
$\scriptsize\sf{m^2-m\lt 0}$ かつ $\scriptsize\sf{-m\lt 0}$
すなわち、$\scriptsize\sf{0\lt m\lt 1}$ のときであり、このときM=2
・Aがx軸の上側にあり、B、Cがx軸の下側にあるのは
$\scriptsize\sf{m^2-m\gt 0}$ かつ $\scriptsize\sf{-m\lt 0}$
すなわち、$\scriptsize\sf{m\gt 1}$ のときであり、このときM=4
また、(1)のグラフより、$\scriptsize\sf{m=1}$ のときM=3
以上より
$\scriptsize\sf{\underline{\begin{eqnarray}\sf M = \begin{cases} \sf 0 &\sf (m\lt 0 ) \\ \sf 1 &\sf (m=0)\\ \sf 2&\sf (0\lt m\lt 1)\\ \sf 3&\sf (m=1)\\ \sf 4&\sf (m\gt 1) \end{cases}\end{eqnarray}}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/03/28(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .千葉大 2019
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