第5問
三角形ABCにおいて∠A=45°、∠B=60°である。頂点Aから辺BCに引いた垂線と
BCが交わる点をDとし、頂点Cから辺ABに引いた垂線とABが交わる点をEとする。
また、$\small\sf{\overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf CA}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf CB}}$ とする。このとき以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\overrightarrow{\sf CE}}$ を$\small\sf{\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}}$ を用いて表せ。
(2) 直線CEと直線ADの交点をHとするとき、$\small\sf{\overrightarrow{\sf CH}}$ を$\small\sf{\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}}$ を用いて表せ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf CE=x\end{align*}}$ とおく。
△ACEにおいて、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AE=\frac{CE}{\tan 45^{\circ}}=x\end{align*}}$
△BCEにおいて、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf BE=\frac{CE}{\tan 60^{\circ}}=\frac{x}{\sqrt3}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AE:BE=x:\frac{x}{\sqrt3}=\sqrt3:1\end{align*}}$
点EはABを$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt3:1\end{align*}}$ に内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CE}=\frac{\overrightarrow{\sf CA}+\sqrt3\ \overrightarrow{\sf CB}}{\sqrt3+1}=\underline{\frac{\overrightarrow{\sf a}+\sqrt3\ \overrightarrow{\sf b}}{\sqrt3+1}}\end{align*}}$
(2)
△AEHにおいて、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf EH=AE\tan 30^{\circ}=\frac{x}{\sqrt3}\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf CH:CE=\left(x-\frac{x}{\sqrt3}\right):x=\left(\sqrt3-1\right):\sqrt3\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CH}&=\sf\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3}\overrightarrow{\sf CE} \\ &=\sf\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3}\cdot\frac{\overrightarrow{\sf a}+\sqrt3\ \overrightarrow{\sf b}}{\sqrt3+1} \\ &=\sf \underline{\frac{2\sqrt3-3}{3}\left(\overrightarrow{\sf a}+\sqrt3\ \overrightarrow{\sf b}\right)}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/03/31(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .千葉大 2019
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