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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019筑波大 数学5



第5問

  数列$\small\sf{\{a_n\}}$ を$\small\sf{\begin{align*}\sf a_n=\frac{1}{2^n}\ \ \left(n=1,2,3,\cdots\right)\end{align*}}$ で定める。以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*}\sf t\gt 0\end{align*}}$ のとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf 1\leqq\frac{e^t-1}{t}\leqq e^t\end{align*}}$ であることを示せ。

 (2) 数列$\small\sf{\begin{align*}\sf\{x_n\}\ ,\ \{y_n\}\ ,\ \{z_n\} \end{align*}}$ を
        $\displaystyle\sf{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}\sf x_n=\log\left(e^{a_n}+1\right) \\ \sf y_n=\log\left(e^{a_n}-1\right) \\ \sf z_n=y_n+\sum_{k=1}^nx_k \end{array} \right.\end{eqnarray}\ \ \ \left(n=1,2,3,\cdots\right)}$
    で定める。znはnによらない定数であることを示せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^{\infty}\log\left(\frac{e^{a_k}+1}{2}\right)\end{align*}}$ を求めよ。





テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2019/03/25(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関東の大学 .筑波大 2019
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