第4問
$\small\sf{0\leqq x\leqq\pi}$ の範囲において、関数$\small\sf{f(x),\ g(x)}$ を
$\small\sf{f(x)=1+\sin x\ ,\ \ \ g(x)=-1-\cos x}$
と定める。
(1) $\small\sf{0\leqq x\leqq\pi}$ の範囲において、$\small\sf{|f(x)|=|g(x)|}$ を満たすxを求めよ。
(2) 曲線$\small\sf{y=f(x)}$ 、曲線$\small\sf{y=g(x)}$ 、直線$\small\sf{x=0}$ および直線$\small\sf{x=\pi}$ で囲まれる部分を、
x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{0\leqq x\leqq \pi}$ より、$\small\sf{0\leqq \sin x\leqq 1\ ,\ \ -1\leqq\cos x\leqq 1}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |f(x)|=|g(x)|& \ \ \Leftrightarrow\ \ \sf |1+\sin x|=|-1-\cos x|\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 1+\sin x=1+\cos x\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \sin x=\cos x\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\sin x}{\cos x}=\tan x=1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=\underline{\frac{\pi}{4}} \end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=f(x)\ ,\ y=g(x)\ ,\ x=0\ ,\ x=\pi\end{align*}}$ で囲まれた部分（右下図の水色部分）のx軸回転体は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=f(x)\ ,\ y=-g(x)\ ,\ x=0\ ,\ x=\pi\end{align*}}$ およびx軸で囲まれた部分（左下図のピンク色部分）
のx軸回転体と一致する。
回転体の体積をVとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf \pi\int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(1+\cos x\right)^2dx+\pi\int_{\frac{\pi}{4}}\left(1+\sin x\right)^2dx\\ &=\sf \pi\int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(1+2\cos x+\cos^2 x\right)dx+\pi\int_{\frac{\pi}{4}}\left(1+2\sin x+\sin^2x\right)dx\\ &=\sf \pi\int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(1+2\cos x+\frac{1+\cos2 x}{2}\right)dx+\pi\int_{\frac{\pi}{4}}\left(1+2\sin x+\frac{1-\cos2x}{2}\right)dx\\ &=\sf \pi\left[\frac{3}{2}x+2\sin x+\frac{1}{4}\sin 2x\right]_0^{\frac{\pi}{4}}+\pi\left[\frac{3}{2}x-2\cos x-\frac{1}{4}\sin 2x\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}\\ &=\underline{\frac{3\pi+4\sqrt2+5}{2}\pi}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/03/24(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .筑波大 2019
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