第3問
四面体OABCについて、OA=OB=OCおよび∠AOB=∠BOC=∠COAが成り立つ
とする。0＜s＜1、0＜t＜1を満たす実数s、tに対し、辺OAをs:1-sに内分する点をD、
辺OBをt:1-tに内分する点をEとする。$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AF}=\overrightarrow{\sf BG}=\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ となる点F、Gをとり、線分EFと
線分DGが1点で交わるとし、その交点をPとする。
$\small\sf{\begin{align*}\sf\overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\ ,\ \ \angle AOB=\theta\end{align*}}$ とするとき、次の問いに答えよ。
(1) t=sであることを示し、$\small\sf{\overrightarrow{\sf OP}}$ をs $\small\sf{,\ \overrightarrow{\sf a},\ \overrightarrow{\sf b},\ \overrightarrow{\sf c}}$ で表せ。
(2) $\small\sf{\overrightarrow{\sf EF}\bot\overrightarrow{\sf DG}}$ であるとき、$\small\sf{\cos\theta}$ をsを用いて表せ。
(3) $\small\sf{\overrightarrow{\sf EF}\bot\overrightarrow{\sf DG}}$ かつ$\small\sf{\sqrt3 OP=OA}$ であるとき、sの値を求めよ。
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【解答】
(1)
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OD}=s\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf OE}=t\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf OF}=\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf c}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf OG}=\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf EP:FP=u:1-u\ ,\ \ DP:GP=v:1-v\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}=\left(1-u\right)\overrightarrow{\sf OE}+u\overrightarrow{\sf OF}=\left(1-v\right)\overrightarrow{\sf OD}+v\overrightarrow{\sf OG}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(1-u\right)t\overrightarrow{\sf b}+u\left(\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf c}\right)=\left(1-v\right)s\overrightarrow{\sf a}+v\left(\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ u\overrightarrow{\sf a}+\left(1-u\right)t\overrightarrow{\sf b}+u\overrightarrow{\sf c}=\left(1-v\right)s\overrightarrow{\sf a}+v\overrightarrow{\sf b}+v\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a},\ \overrightarrow{\sf b},\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ は一次独立なので、係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}\sf u=(1-v)s \\ \sf (1-u)t=v \\ \sf u=v \end{array} \right.\end{eqnarray}}$
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s=t\ ,\ \ u=v=\frac{s}{s+1}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}=\underline{\frac{s}{s+1}\left(\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)}\sf \end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OA=OB=OC=L\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf a}|=|\overrightarrow{\sf b}|=|\overrightarrow{\sf c}|=L\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}=L^2\cos\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf EF}\bot\overrightarrow{\sf DG}\end{align*}}$ より、内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf EF}\cdot\overrightarrow{\sf DG}&=\left(\overrightarrow{\sf OF}-\overrightarrow{\sf OE}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf OG}-\overrightarrow{\sf OD}\right)\\ &=\sf\left(\overrightarrow{\sf a}-s\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)\cdot\left(-s\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)\\ &=\sf -s|\overrightarrow{\sf a}|^2-s|\overrightarrow{\sf b}|^2+|\overrightarrow{\sf c}|^2+\left(1+s^2\right)\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+\left(1-s\right)\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}+\left(1-s\right)\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\\ &=\sf -\left(2s-1\right)L^2+\left(s^2-2s+3\right)L^2\cos\theta=0\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s^2-2s+3=\left(s-1\right)^2+2\gt 0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\theta=\underline{\frac{2s-1}{s^2-2s+3}}\end{align*}}$
(3)
(1)、(2)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf OP}|^2&=\sf \left(\frac{s}{s+1}\right)^2\left|\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right|^2\\ &=\sf \left(\frac{s}{s+1}\right)^2\left(|\overrightarrow{\sf a}|^2+|\overrightarrow{\sf b}|^2+|\overrightarrow{\sf c}|^2+2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+2\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}+\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a} \right)\\ &=\sf \left\{\frac{s}{s+1}\right)^2\left(3L^2+6L^2\cos\theta\right)\\ &=\sf \left(\frac{s}{s+1}\right)^2\left(3+\frac{6(2s-1)}{s^2-2s+3}\right\}L^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3OP^2=OA^2\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3\cdot\left(\frac{s}{s+1}\right)^2\left\{3+\frac{6(2s-1)}{s^2-2s+3}\right\}L^2=L^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{9s^2}{(s+1)^2}\cdot\frac{s^2+2s+1}{s^2-2s+3}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 8s^2+2s-3=(2s-1)(4s+3)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s=\underline{\frac{1}{2}}\ \ \ \left(\because\ \ 0\lt s\lt 1\right)\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/03/23(土) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .筑波大 2019
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