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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019名古屋大 理系数学4



第4問

  正の整数nに対して$\small\sf{1,2,\cdots ,n}$ を一列に並べた順列を考える。そのような順列はn!個ある。
  このうち1つを等確率で選んだものを$\small\sf{(a_1,a_2,\cdots a_n)}$ に対し、各添字$\small\sf{i=1,2,\cdots ,n}$ について、
  $\small\sf{a_i}$ の値がjであるとき、そのjを添字にもつ$\small\sf{a_j}$ の値がkであることを$\small\sf{a_i=j\rightarrow a_j=k}$ と書くこと
  にする。ここで、$\small\sf{a_i=j\rightarrow a_j=k\rightarrow a_k=\ell\sf\rightarrow \cdots}$ のようにたどり、それを続けていく。例えば
  $\small\sf{(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7)=(2,5,6,1,4,3,7)}$ のとき、
    $\small\sf{(i)\ a_1=2\rightarrow a_2=5\rightarrow a_5=4\rightarrow a_4=1\rightarrow a_1=2}$
    $\small\sf{(ii)\ a_3=6\rightarrow a_6=3\rightarrow a_3=6}$
    $\small\sf{(iii)\ a_7=7\rightarrow a_=7}$
  となり、どのiから始めても列は必ず一巡する。この一巡するそれぞれの列をサイクル、列に
  現れる相異なる整数の個数をサイクルの長さと呼ぶ。上の$\small\sf{(i),\ (ii),\ (iii)}$ は長さがそれぞれ
  4,2,1のサイクルになっている。

 (1) n=3とする。選んだ順列が長さ1のサイクルを含む確率を求めよ。

 (2) n=4とする。長さ4のサイクルを含む順列をすべて挙げよ。

 (3) n以下の正の整数kに対して、        
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{j=k}^n\frac{1}{j}\gt\log\left(n+1\right)-\log k\end{align*}}$
    を示せ。

 (4) nを奇数とする。選んだ順列が長さ$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{n+1}{2}\end{align*}}$ 以上のサイクルを含む確率pは$\small\sf{p\gt\log 2}$ を
    みたすことを示せ。





テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2019/03/20(水) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 理系 2019
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