第3問
正の整数nの正の平方根$\small\sf{\sqrt{n}}$ は整数ではなく、それを10進法で表すと、小数第1位は
0であり、第2位は0以外の数であるとする。
(1) このようなnの中で最小のものを求めよ。
(2) このようなnを小さいものから順に並べたときに10番目にくるものを求めよ。
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【解答】
$\scriptsize\sf{\sqrt{n}}$ の整数部分をmとすると、
$\scriptsize\sf{m\lt \sqrt{n}\lt m+0.1}$
と表すことができ、両辺を2乗すると
$\scriptsize\sf{m^2\lt n\lt m^2+0.2m+0.01}$
これを満たすm、nが存在するためには
$\scriptsize\sf{m^2\lt m^2+1\lt m^2+0.2m+0.01}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ m\gt 4.95}$
である必要があるので、nが最小となるのは$\scriptsize\sf{m=5}$ のときである。
このとき
$\scriptsize\sf{n=5^2+1=\underline{26}}$
(2)
$\scriptsize\sf{m^2\lt m^2+1\lt m^2+2\lt m^2+0.2m+0.01}$
を満たすmは$\scriptsize\sf{m\gt 9.95}$ のときである。
$\scriptsize\sf{m=5,6,7,8,9}$ のとき$\scriptsize\sf{n=m^2+1}$
$\scriptsize\sf{m=10,11,12,\cdots }$ のとき$\scriptsize\sf{n=m^2+1,\ m^2+2}$
となるので、nを小さい方から順に並べると、
$\scriptsize\sf{n=5^2+1=26}$
$\scriptsize\sf{n=6^2+1=37}$
$\scriptsize\sf{n=7^2+1=50}$
$\scriptsize\sf{n=8^2+1=65}$
$\scriptsize\sf{n=9^2+1=82}$
$\scriptsize\sf{n=10^2+1=101}$
$\scriptsize\sf{n=10^2+2=102}$
$\scriptsize\sf{n=11^2+1=122}$
$\scriptsize\sf{n=11^2+2=123}$
$\scriptsize\sf{n=12^2+1=145}$
よって、小さい方から10番目の数は$\scriptsize\sf{n=\underline{145}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/03/19(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 理系 2019
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