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【解答】
2次方程式$\scriptsize\sf{ax^2-bx+c=0}$ が整数解nをもつとすると、
$\scriptsize\sf{an^2-bn+c=0\ \ \Leftrightarrow\ \ n(-an+b)=c}$
となるので、nはcの約数である。cはサイコロの目なので、
$\scriptsize\sf{n=1,2,3,4,5,6}$
(ⅰ) n=1のとき
$\scriptsize\sf{a-b+c=0\ \ \Leftrightarrow\ \ b=a+c}$
となるので、これを満たすサイコロの目の組(a，b，c)は
$\scriptsize\sf{(1,2,1)}$
$\scriptsize\sf{(1,3,2),\ (2,3,1)}$
$\scriptsize\sf{(1,4,3),\ (2,4,2),\ (3,4,1)}$
$\scriptsize\sf{(1,5,4),\ (2,5,3),\ (3,5,2),\ (4,5,1)}$
$\scriptsize\sf{(1,6,5),\ (2,6,4),\ (3,6,3),\ (4,6,2),\ (5,6,1)}$
(ⅱ) n=2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 4a-2b+c=0\ \ \Leftrightarrow\ \ b=2a+\frac{c}{2} \end{align*}}$
となるので、これを満たすサイコロの目の組(a，b，c)は
$\scriptsize\sf{(1,3,2),\ (1,4,4),\ (1,5,6),\ (2,5,2),\ (2,6,4)}$
(ⅲ) n=3のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 9a-3b+c=0\ \ \Leftrightarrow\ \ b=3a+\frac{c}{3} \end{align*}}$
となるので、これを満たすサイコロの目の組(a，b，c)は
$\scriptsize\sf{(1,4,3),\ (1,5,6)}$
(ⅳ) n=4のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 16a-4b+c=0\ \ \Leftrightarrow\ \ b=4a+\frac{c}{4} \end{align*}}$
となるので、これを満たすサイコロの目の組(a，b，c)は$\scriptsize\sf{(1,5,4)}$
(ⅴ) n=5のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 25a-5b+c=0\ \ \Leftrightarrow\ \ b=5a+\frac{c}{5} \end{align*}}$
となるので、これを満たすサイコロの目の組(a，b，c)は$\scriptsize\sf{(1,6,5)}$
(ⅵ) n=6のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 36a-6b+c=0\ \ \Leftrightarrow\ \ b=6a+\frac{c}{6} \end{align*}}$
となり、これを満たすサイコロの目の組(a，b，c)は存在しない。
(1)
$\scriptsize\sf{a=1}$ であるようなサイコロの目の組(a，b，c)は
$\scriptsize\sf{(1,2,1),\ (1,3,2),\ (1,4,3),\ (1,5,4),\ (1,6,5),\ (1,4,4),\ (1,5,6)}$
の7組なので、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{7}{6^2}=\underline{\frac{7}{36}}\end{align*}}$
(2)
整数の重解をもつようなサイコロの目の組(a，b，c)は
$\scriptsize\sf{(1,2,1),\ (2,4,2),\ (3,6,3),\ (1,4,4)}$ の4組
異なる2つの整数解をもつようなサイコロの目の組(a，b，c)は
$\scriptsize\sf{(1,3,2),\ (1,4,3),\ (1,5,4),\ (1,6,5),\ (1,5,6),\ (2,6,4)}$ の6組
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{4+6}{6^3}=\underline{\frac{5}{108}}\end{align*}}$
(3)
整数解を1つだけもつようなサイコロの目の組(a，b，c)は
$\scriptsize\sf{(2,3,1),\ (3,4,1),\ (2,5,3),\ (3,5,2)}$
$\scriptsize\sf{(4,5,1),\ (4,6,2),\ (5,6,1),\ (2,5,2)}$ の8組
これと(2)の10組を合わせると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{8+10}{6^3}=\underline{\frac{1}{12}}\end{align*}}$
