第2問
非負の整数nに対してPnをxy平面上の点とする。P0の座標を$\small\sf{(1,0)}$ とし、Pnの座標
$\small\sf{(x_n,y_n)}$ とPn+1の座標$\small\sf{(x_{n+1},y_{n+1})}$ は
$\small\sf{x_{n+1}=x_n-k\left(y_n+y_{n+1}\right)}$
$\small\sf{y_{n+1}=y_n+k\left(x_n+x_{n+1}\right)}$
をみたすとする。ただしkを正の実数とする。
(1) $\small\sf{\begin{align*}\sf k=\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\end{align*}}$ とする。ただし$\small\sf{0\lt\alpha\lt \pi}$ とする。このときP1、P2の座標$\small\sf{(x_1,y_1)\ ,\ (x_2,y_2)}$
を$\small\sf{\alpha}$ を用いて表せ。
(2) Pnの座標$\small\sf{(x_n,y_n)}$ を(1)の$\small\sf{\alpha}$ とnを用いて表せ。
(3) Oをxy平面の原点とするとき、三角形PnOPn+1の面積をkを用いて表せ。
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【解答】
$\scriptsize\sf{x_{n+1}=x_n-k\left(y_n+y_{n+1}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \ \ x_{n+1}+ky_{n+1}=x_n-ky_n}$
$\scriptsize\sf{y_{n+1}=y_n+k\left(x_n+x_{n+1}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ -kx_{n+1}+y_{n+1}=kx_n+ky_n}$
これら2式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_{n+1}=\frac{1-k^2}{1+k^2}x_n-\frac{2k}{1+k^2}y_n\ ,\ \ \ y_{n+1}=\frac{2k}{1+k^2}x_n+\frac{1-k^2}{1+k^2}y_n\ \ \ \cdots\cdots\cdots (*)\end{align*}}$
(1)
tanの半角公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k^2=\tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\alpha=\frac{1-k^2}{1+k^2} \end{align*}}$
tanの倍角公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \tan\alpha=\frac{2\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1-\tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{2k}{1-k^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2k}{1+k^2}=\frac{2k}{1-k^2}\cdot\frac{1-k^2}{1+k^2}=\tan\alpha\cos\alpha=\sin\alpha\end{align*}}$
これらと(*)より
$\scriptsize\sf{x_{n+1}=x_n\cos\alpha-y_n\sin\alpha\ ,\ \ y_{n+1}=x_n\sin\alpha+y_n\cos\alpha\ \ \ \cdots\cdots\cdots (**)}$
となるので、$\scriptsize\sf{x_0=1,\ y_0=0}$ より
$\scriptsize\sf{x_{1}=x_0\cos\alpha-y_0\sin\alpha=\cos\alpha}$
$\scriptsize\sf{y_{1}=x_0\sin\alpha+y_0\cos\alpha=\sin\alpha}$
倍角公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_2&=\sf x_1\cos\alpha-y_1\sin\alpha \\ &=\sf\cos^2\alpha-\sin^2\alpha \\ &=\sf\cos 2\alpha \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y_2&=\sf x_1\sin\alpha+y_1\cos\alpha \\ &=\sf 2\sin\alpha\cos\alpha\\ &=\sf \sin 2\alpha\end{align*}}$
以上より、点P1、P2の座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{P_1\left(\cos\alpha,\ \sin\alpha\right)\ ,\ \ P_2\left(\cos 2\alpha,\ \sin 2\alpha\right)}\end{align*}}$
(2)
Pnの座標は $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_n\left(\cos n\alpha,\ \sin n\alpha\right)\end{align*}}$ と類推できるので、これを数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1のときは(１)より成り立つ
(ⅱ) n=kのとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_k\left(\cos k\alpha,\ \sin k\alpha\right)\end{align*}}$ が成り立つと仮定すると、(**)と加法定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_{k+1}&=\sf x_k\cos\alpha-y_k\sin\alpha \\ &=\sf\cos k\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha \\ &=\sf\cos (k+1)\alpha \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y_{k+1}&=\sf x_k\sin\alpha+y_k\cos\alpha \\ &=\sf \sin k\alpha\cos\alpha+\cos k\alpha\sin\alpha\\ &=\sf \sin (k+1)\alpha\end{align*}}$
となるので、n=k+1のときも成り立つ。
よって、任意の自然数nに対してPnの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{P_n\left(\cos n\alpha,\ \sin n\alpha\right)}\end{align*}}$
となる。
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_n\left(\cos n\alpha,\ \sin n\alpha\right)\ ,\ \ P_{n+1}\left(\cos (n+1)\alpha,\ \sin (n+1)\alpha\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OP_n=OP_{n+1}=1 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle P_nOP_{n+1}=(n+1)\alpha-n\alpha=alpha\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\triangle P_nOP_{n+1} &=\sf \frac{1}{2}\cdot OP_n\cdot OP_{n+1}\sin\angle P_nOP_{n+1} \\ &=\sf \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot \sin\alpha\\ &=\sf \underline{\frac{k}{1+k^2}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/03/15(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 文系 2019
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