第4問
0でない2つの整式$\small\sf{f(x),\ g(x)}$ が以下の恒等式を満たすとする。
$\small\sf{f(x^2)=(x^2+2)g(x)+7}$
$\small\sf{g(x^3)=x^4f(x)-3x^2g(x)-6x^2-2}$
(1) $\small\sf{f(x)}$ と$\small\sf{g(x)}$ の次数はともに2以下であることを示せ。
(2) $\small\sf{f(x)}$ と$\small\sf{g(x)}$ を求めよ。
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【解答】
$\scriptsize\sf{f(x^2)=(x^2+2)g(x)+7\ \ \ \cdots\cdots\cdots (i)}$
$\scriptsize\sf{g(x^3)=x^4f(x)-3x^2g(x)-6x^2-2\ \ \ \cdots\cdots\cdots (ii)}$
(1)
$\scriptsize\sf{f(x),\ g(x)}$ の次数をそれぞれn、mとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=ax^n+F(x)\end{align*}}$ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \big(a\ne 0\ ,\ F(x)\end{align*}}$ は高々$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n-1\end{align*}}$ 次の整式$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\big) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(x)=px^m+G(x)\end{align*}}$ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \big(p\ne 0\ ,\ G(x)\end{align*}}$ は高々$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m-1\end{align*}}$ 次の整式$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\big) \end{align*}}$
と表すことができる。
(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf ax^{2n}+F(x^2)&=\sf (x^2+2)\{px^{m}+G(x)\}+7 \\ &=\sf px^{m+2}+x^2G(x)+2px^m+2G(x)+7 \end{align*}}$
最高次の項の指数と係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=p \end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2n=m+2\ \ \ \cdots\cdots\cdots (*) \end{align*}}$
また、(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf px^{3m}+G(x^3)&=\sf x^4\{ax^n+F(x)\}-2x^2\{px^m+G(x)\}-6x^2-2 \\ &=\sf ax^{n+4}-2px^{m+2}+x^4F(x)-2x^2G(x)-6x^2-2\end{align*}}$
最高次の項の指数と係数を比較すると、
・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n+4\gt m+2\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=a \end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3m=n+4\end{align*}}$
これと、(*)より$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n=m=2\end{align*}}$
・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n+4\lt m+2\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=-2p \end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3m=m+2\end{align*}}$
となるが、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p\ne 0\end{align*}}$ に反する
・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n+4=m+2\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=a-2p \end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3m=n+4=m+2\end{align*}}$
これと、(*)を同時に満たすm、nは存在しない。
以上より、$\scriptsize\sf{f(x)}$ と$\scriptsize\sf{g(x)}$ の次数はともに2である
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=ax^2+bx+c\ ,\ \ g(x)=px^2+qx+r\end{align*}}$
とおくと、(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf ax^4+bx^2+c&=\sf (x^2+2)(px^2+qx+r)+7 \\ &=\sf px^4+qx^3+(2p+r)x^2+2qx+2r+7\end{align*}}$
となり、係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=p\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q=0\end{align*}}$かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b=2p+r\end{align*}}$かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c=2r+7\end{align*}}$
一方、(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf px^6+qx^3+r&=\sf x^4(ax^2+bx+c)-3x^2(px^2+qx+r)-6x^2-2 \\ &=\sf ax^6+bx^5+(c-3p)x^4-3qx^3-(3r+6)x^2-2\end{align*}}$
となり、係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=p\end{align*}}$かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b=0\end{align*}}$かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c-3p=0\end{align*}}$かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q=-3q\end{align*}}$かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -(3r+6)=0\end{align*}}$かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r=-2\end{align*}}$
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=1\ ,\ \ b=0\ ,\ \ c=-3\ ,\ \ p=1\ ,\ \ q=0\ ,\ \ r=-2\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{f(x)=x^2+3\ ,\ \ g(x)=x^2-2}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/03/08(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .九州大 文系 2019
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