第3問
座標空間内の3点$\small\sf{A(1,2,3)\ ,\ B(3,2,3)\ ,\ C(4,5,6)}$ を通る平面を$\small\sf{\alpha}$ とし、平面$\small\sf{\alpha}$ 上にない
点$\small\sf{P(6,p,q)}$ を考える。以下の問いに答えよ。
(1) 点Pから平面$\small\sf{\alpha}$ に下した垂線を$\small\sf{\alpha}$ との交点をHとする。線分PHの長さをp、qを
用いて表せ。
(2) 点Pが$\small\sf{(p-9)^2+(q-7)^2=1}$ を満たしながら動くとき、四面体ABCPの体積の最大値
と最小値を求めよ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AB}=(2,0,0)\ ,\ \ \overrightarrow{\sf AC}=(3,3,3)\end{align*}}$
Hは平面$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha\end{align*}}$ 上にあるので、実数s、tを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AH}=s\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OH}-(1,2,3)=s(2,0,0)+t(3,3,3)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OH}=\left(2s+3t+1,\ 3t+2,\ 3t+3\right)\end{align*}}$
と表すことができる。これより
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PH}=\overrightarrow{\sf OH}-\overrightarrow{\sf OP}=\left(2s+3t-5 ,\ -p+3t+2,\ -q+3t+3\right)\end{align*}}$
PH⊥$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha\end{align*}}$ よりPH⊥ABかつPH⊥ACなので、内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PH}\cdot\overrightarrow{\sf AB}=2(2s+3t-5)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PH}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=3(2s+3t+1)+3(3t+2)+3(3t+3)=0\end{align*}}$
これら2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2s-3t-5=2s+9t-p-q=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s=-\frac{p+q-15}{4}\ ,\ \ t=\frac{p+q-5}{6}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PH}=\left(0,\ -\frac{p-q+1}{2},\ \frac{p-q+1}{2}\right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf PH=\sqrt{0+\left(-\frac{p-q+1}{2}\right)^2+\left( \frac{p-q+1}{2}\right)^2} =\underline{\frac{|p-q+1|}{\sqrt2}} \end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p-q+1=k\ \ \Leftrightarrow\ \ q=p+1-k\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (p-9)^2+(q-7)^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ (p-9)^2+(p-k-6)^2=1 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2p^2-2(k+15)p+k^2+12k+116=0\end{align*}}$
pは実数なので、判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D/4=(k+15)^2-2(k^2+12k+116)\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k^2-6k+7\leqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (0\lt )\ \ 3-\sqrt2\leqq k\leqq 3+\sqrt2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{3-\sqrt2}{\sqrt2}\leqq PH\leqq \frac{3+\sqrt2}{\sqrt2}\ \ \ \cdots\cdots\cdots \end{align*}}$ (*)
一方、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf AB}|=2\ ,\ \ |\overrightarrow{\sf AC}|=\sqrt{3^2+3^2+3^2}=3\sqrt3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=6+0+0=6\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\triangle ABC &=\sf\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\sf AB}|^2|\overrightarrow{\sf AC}|^2-\left(\overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}\right)^2} \\ &=\sf\frac{1}{2}\sqrt{2^2\cdot \left(3\sqrt3\right)^2-6^2} \\ &=\sf 3\sqrt2\end{align*}}$
四面体ABCPの体積をVとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V=\frac{1}{3}\triangle ABC\cdot PH=\sqrt2\ PH\end{align*}}$
これと(*)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3-\sqrt2\leqq V\leqq 3+\sqrt2\end{align*}}$
よって、Vの最大値および最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V_{max}=\underline{3+\sqrt2}\ ,\ \ V_{min}=\underline{3-\sqrt2}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/03/07(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .九州大 文系 2019
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