第2問
kを実数とする。3次関数$\small\sf{y=x^3-kx^2+kx+1}$ が極大値と極小値をもち、極大値から
極小値を引いた値が4|k|3になるとする。このとき、kの値を求めよ。
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【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=x^3-kx^2+kx+1\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)=3x^2-2kx+k\end{align*}}$
3次関数$\scriptsize\sf{f(x)}$ が極値を持つのは、2次方程式$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)=0\end{align*}}$ が異なる2つの実数解を
もつときなので、判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D/4=k^2-3k=k(k-3)\gt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{k\lt 0\ ,\ \ 3\lt k}\ \ \ \cdots\cdots\cdots (*) \end{align*}}$
このとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)=0\end{align*}}$ の2解を$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha,\ \beta\ \ (\alpha\lt \beta) \end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha=\frac{k-\sqrt{k^2-3k}}{3}\ ,\ \ \beta=\frac{k+\sqrt{k^2-3k}}{3} \end{align*}}$
であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)=3(x-\alpha)(x-\beta) \end{align*}}$ の符号は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha\end{align*}}$ の前後で正から負に変化し、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \beta\end{align*}}$ の前後で負から正に変化するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x) \end{align*}}$ は、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\alpha\end{align*}}$ で極大、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\beta\end{align*}}$ で極小となる。
よって、この差は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(\alpha)-f(\beta)&=\sf\int_{\beta}^{\alpha}f'(x)dx \\ &=\sf \int_{\beta}^{\alpha}3(x-\alpha)(x-\beta)dx\\ &=\sf -\frac{3}{6}(\alpha-\beta)\\ &=\sf -\frac{1}{2}\left(\frac{k-\sqrt{k^2-3k}}{3}-\frac{k+\sqrt{k^2-3k}}{3}\right)^3\\ &=\sf \frac{4}{27}\left(\sqrt{k^2-3k}\right)^3 \end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{4}{27}\left(\sqrt{k^2-3k}\right)^3=4|k|^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\sqrt{k^2-3k}\right)^3=27|k|^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{k^2-3k}=3|k|\ (\gt 0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ k^2-3k=9k^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ k=0\ ,\ \frac{3}{8}\end{align*}}$
(*)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{k=-\frac{3}{8}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/03/06(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .九州大 文系 2019
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