第3問
Oを原点とする座標平面上に、2つの焦点$\small\sf{F_1\left(p,0\right)\ ,\ F_2\left(-p,0\right)\ \ \left(p\gt 0\right)}$ からの距離の和が
一定である楕円Cがあり、Cは2点$\small\sf{\begin{align*}\sf \left(-3,0\right)\ ,\ \left(\sqrt3,-\frac{2\sqrt6}{3}\right)\end{align*}}$ を通る。このとき、次の
をうめよ。
(1) Cの方程式は ① =1である。
(2) p= ② である。
(3) kを定数とする。Cと直線$\small\sf{\begin{align*}\sf ｙ\frac{1}{2}x+k\end{align*}}$ が異なる2つの共有点をもつときのkの値の範囲は
③ である。
(4) F1、F2を焦点とし、2本の漸近線が$\small\sf{\begin{align*}\sf y=\pm\frac{1}{2}x\end{align*}}$ をもつ双曲線の方程式は ④ =1
である。
(5) (4)の双曲線とCの共有点のうち、第1象限にあるものをAとする。Aの座標は ⑤
であり、∠OAF1= ⑥ °である。
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【解答】
① $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}\end{align*}}$ ② $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt5\end{align*}}$ ③ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{5}{2}\lt k\lt\frac{5}{2}\end{align*}}$ ④ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x^2}{4}-y^2\end{align*}}$
⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{6}{\sqrt5},\ \frac{2}{\sqrt5}\right)\end{align*}}$ ⑥ 45
【解説】
①
Cの方程式を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ \ \ \left(a,b\gt 0\right) \end{align*}}$
とおくと、点$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (-3,0)\end{align*}}$ は長軸上の頂点となるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=3\end{align*}}$
また、Cは点$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left(\sqrt3,\ -\frac{2\sqrt6}{3}\right)\end{align*}}$ を通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\left(\sqrt3\right)^2}{3^2}+\frac{\left(-\frac{2\sqrt6}{3}\right)^2}{b^2}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ b^2=4\end{align*}}$
よって、Cの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1}\end{align*}}$
②
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{9-4}=\underline{\sqrt5} \end{align*}}$
③
Cの方程式と$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{1}{2}x+k\end{align*}}$ を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x^2}{9}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}x+k\right)^2=1 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 25x^2+36kx+36k^2-144=0\end{align*}}$
これが異なる2つの実数解をもてばよいので、判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D/4=(18k)^2-25(36k^2-144)\gt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{-\frac{5}{2}\lt k\lt\frac{5}{2}}\end{align*}}$
④
求める双曲線をDとする。Dの方程式を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x^2}{c^2}-\frac{y^2}{d^2}=1\ \ \ \left(c,d\gt 0\right) \end{align*}}$
とおくと、焦点に関して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{c^2+d^2}=\sqrt5\ \ \Leftrightarrow\ \ c^2+d^2=5 \end{align*}}$
Dの漸近線は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x}{c}\pm\frac{y}{d}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\pm\frac{d}{c}x\end{align*}}$
であり、これが$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\pm\frac{1}{2}x\end{align*}}$ と一致するので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c=2d \end{align*}}$
これら2式を連立させて解くと、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c=2\ ,\ d=1\end{align*}}$ となるので、Dの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\frac{x^2}{4}-y^2=1}\end{align*}}$
⑤
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf C：\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ 4x^2+9y^2=36\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D：\ \frac{x^2}{4}-y^2=1\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-4y^2=4\end{align*}}$
これら2式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2=\frac{36}{5}\ ,\ \ y^2=\frac{4}{5}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm\frac{6}{\sqrt5}\ ,\ \ y=\pm\frac{2}{\sqrt5}\end{align*}}$
Aは第1象限内の共有点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{A\left(\frac{6}{\sqrt5}\ ,\ \frac{2}{\sqrt5}\right)}\end{align*}}$
⑥
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AO}=\left(-\frac{6}{\sqrt5},-\frac{2}{\sqrt5}\right)\ ,\ \ \overrightarrow{\sf AF_1}=\left(-\frac{1}{\sqrt5},-\frac{2}{\sqrt5}\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf AO}\right|=\sqrt{\left(-\frac{6}{\sqrt5}\right)^2+\left(-\frac{2}{\sqrt5}\right)^2}=2\sqrt{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf AF_1}\right|=\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt5}\right)^2+\left(-\frac{2}{\sqrt5}\right)^2}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AO}\cdot\overrightarrow{\sf AF_1}=\frac{6}{5}+\frac{4}{5}=2 \end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\angle OAF_1=\frac{2}{2\sqrt2\cdot 1} =\frac{1}{\sqrt2} \end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle OAF_1=\underline{45^{\circ}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/03/03(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2019（2/5）
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