第1問
関数$\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\frac{x^3+ax}{x^2+3}\end{align*}}$ があり、x=1で極値をもつ。ただし、aは定数である。
また、座標平面上の曲線y=f(x)をCとする。次の問いに答えよ。
(1) aの値を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow\infty}\big\{f(x)-x\big\}\end{align*}}$ を求めよ。
(3) f(x)の極値を求め、増減表をかけ。ただし、曲線の凹凸については調べる
必要はない。
(4) Cとx軸のx≧0の部分で囲まれる図形の面積を求めよ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)=\frac{(3x^2+a)(x^2+3)-(x^3+ax)\cdot 2x}{(x^2+3)^2}=\frac{x^4+(9-a)x^2+3a}{(x^2+3)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=1\end{align*}}$ で極値をもつので
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(1)=\frac{1+(9-a)+3a}{4^2}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a=-5\end{align*}}$
逆にこのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)=\frac{x^4+14x^2-15}{(x^2+3)^2}=\frac{(x-1)(x+1)(x^2+15)}{(x^2+3)^2} \end{align*}}$ ･･････(*)
となり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=1\end{align*}}$ の前後でf(x)の符号が変化するので、f(x)は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=1\end{align*}}$ で極値をもつ。
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{a=-5}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow\infty}\big\{f(x)-x\big\}&=\sf \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x^3-5x}{x^2+3}-x\right) \\ &=\sf\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{-8x}{x^2+3} \\ &=\sf -\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{8}{x}}{1+\frac{3}{x^2}} \\ &=\sf \underline{0}\end{align*}}$
(3)
(*)よりf(x)の増減は次のようになる。
よって、f(x)の極大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(-1)=\underline{1}\end{align*}}$
極小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(1)=\underline{-1}\end{align*}}$
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\frac{x^3-5x}{x^2+3}=\frac{x\left(x-\sqrt5\right)\left(x+\sqrt5\right)}{x^2+3}\end{align*}}$
より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq x\leqq\sqrt5\end{align*}}$ で$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)\leqq 0 \end{align*}}$ であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt5\leqq x\end{align*}}$ で$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)\geqq 0\end{align*}}$ となるので、
求める面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_0^{\sqrt5}\big\{-f(x)\big\} \\ &=\sf -\int_0^{\sqrt5}\frac{x^3-5x}{x^2+3}dx \\ &=\sf- \int_0^{\sqrt5}\left(x-\frac{8x}{x^2+3}\right)dx \\ &=\sf\int_0^{\sqrt5}\left(x-\frac{4(x^2+3)'}{x^2+3}\right)dx \\ &=\sf -\left[\frac{1}{2}x^2-4\log\left(x^2+3\right)\right]_0^{\sqrt5}\\ &=\sf \underline{4\log\frac{8}{3}-\frac{5}{2}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/03/01(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2019（2/5）
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