2010大阪府立大 工学部 数学３

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【解答】

　　以下、2つのＮ型移動のうち
　　　　　　点(x，y)から点(x+1，y)への移動を Ｎ₁型移動
　　　　　　点(x，y)から点(x，y+1)への移動を Ｎ₂型移動
　　と呼ぶことにする。


　(1)
　　　S型移動1回とＮ型移動4回の計5回の移動で、原点から点(3，3)へ
　　　移動するためには、
　　　　　　S型移動を1回
　　　　　　Ｎ₁型移動を2回
　　　　　　Ｎ₂型移動を2回
　　　行えばよい。
　　　5回のうちで何番目にS型移動を行うかは5通り考えられ、
　　　残りの4回のうちでＮ₁型移動の場所は₄C₂通り考えられる。
　　　よって、
　　　　　　A(3)=5×₄C₂=30

　(2)
　　　B(4，1)およびB(4，2)について、
　　　S型移動を何回目に行おうとも、残りの6回の移動は、
　　　Ｎ₁型、Ｎ₂型移動をそれぞれ3回ずつ行えばよいので、
　　　　　B(4，1)=B(4，2)=₆C₃=20

　(3)(4)
　　　B(ｎ，ｋ)についても(2)と同様に、ｋの値すなわちS型移動を何回目に
　　　行うかは経路の総和に影響しない。
　　　よって、2ｎ－2回のＮ型移動は、Ｎ₁型、Ｎ₂型移動をそれぞれｎ－1回
　　　ずつ行えばよいので、2ｎ－1以下の任意のｋに対して、
　　　　　B(ｎ，ｋ)=_2n-2C_n-1
　　　よって、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B\ (n,k)=\underline{\ \frac{(2n-2)!}{\{(n-1)!\}^2 }\ \ }\end{align*}}$

　(5)
　　　(3)(4)より
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\ (n)=(2n-1)\times\frac{(2n-2)!}{\{(n-1)!\}^2}=\underline{\ \frac{(2n-1)!}{\{(n-1)!\}^2}\ \ }\end{align*}}$



　　とまぁ、最後に与えられた式を使わないまま終わってしまいましたｗｗ
　　問題を作成した教授は、(4)で次のように解いて欲しかったんだと思います。

　　　ｋ回目のS型移動までにｉ回(ｉ=0，1，･･･，ｋ－1)のＮ₁型移動を行うとすると、
　　　　　1～ｋ－1回目
　　　　　　　　　Ｎ₁型がｉ回
　　　　　　　　　Ｎ₂型がｋ－1－ｉ回
　　　　　ｋ+1～2ｎ－1回目
　　　　　　　　　Ｎ₁型が、ｎ－1－ｉ回
　　　　　　　　　Ｎ₂型が、(ｎ－1)－(ｋ－1－ｉ)=ｎ－ｋ+ｉ回
　　　となればよい。
　　　ｉ=0，1，･･･，ｋ－1の総和を考えると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}B\ (n,k)=\sum_{i=0}^{k-1}\ _{k-1} C_i\cdot _{2n-k-1} C_{n-1-i}}\end{align*}}$
　　　これに与えられた式を適用して、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue} B\ (n,k)=_{2n-2}C_{n-1}}\end{align*}}$
　　

　　と、こんな感じの答案を想定して出題したんでしょうかね･････？
　　まぁ、普通に失敗作でしょｗｗ