第3問
a1=1、 an+1=an2+2an (n=1，2，･･･)で定められる数列{an}を考える。
次の問いに答えよ。ただし、答えはすべて10進法で答えよ。
(1) bn=an+1とおく。bn+1をbnで表し、bnをnを用いて表せ。
(2) bnを2進法で表したときの桁数を求めよ。
(3) anを2進法で表したときの各位の数の和を求めよ。
(4) cn=b1b2･･･bnとおく。cnをnで表し、an2を整数$\small\sf{\sqrt{2c_n}}$ で割ったときの商と余りを
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n=a_n+1\ \ \Leftrightarrow\ \ a_n=b_n-1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+1}=a_n^{\ 2}+2a_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}-1=\left(b_n-1\right)^2+2\left(b_n-1\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{b_{n+1}=b_n^{\ 2}}\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_1=a_1+1=2 \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n&=\sf b_{n-1}^{\ 2} \\ &=\sf b_{n-2}^{\ 4}\\ &\vdots\\ &=\sf b_{1}^{\ 2^{n-1}}\\ &=\sf \underline{2^{ 2^{n-1}}} \end{align*}}$
(2)
(1)で求めたbnを2進法で表すと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n=\sf 2^{ 2^{n-1}}\ _{(10)} =1\underbrace{ 00 \ldots 0 }_{2^{n-1}\mbox{個} }\ _{(2)} \end{align*}}$
となるので、bnを2進法で表すと$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{2^{n-1}+1}\end{align*}}$ 桁の数となる。
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n=b_n-1=\underbrace{ 11 \ldots 1 }_{2^{n-1}\mbox{個} }\ _{(2)} \end{align*}}$
なので、anを2進法で表したときの各位の数の和は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{2^{n-1}}\end{align*}}$ である。
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c_n&=\sf b_1b_2b_3\cdot \cdots\cdot b_n \\ &=\sf 2^1\cdot 2^2\cdot 2^4\cdot \cdots \cdot 2^{2^{n-1}}\\ &=\sf 2^{1+2+4+\cdots +2^{n-1}}\\ &=\sf 2^{\frac{2^n-1}{2-1}}\\ &=\sf \underline{2^{2^n-1}}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{2c_n}=\sqrt{2\cdot 2^{2^n-1}}=\sqrt{2^{2^n}}=2^{2^{n-1}}=b_n\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n\ ^2&=\sf \left(b_n-1\right)^2 \\ &=\sf b_n^2-2b_n+1\\ &=\sf b_n\left(b_n-2\right)+1\end{align*}}$
となるので、an2を$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{2c_n}\end{align*}}$ で割ったときの商は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n-2=\underline{2^{2^{n-1}}-2} \end{align*}}$ 、余りは1である。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/02/27(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2019（2/2）
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
