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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019関西大 理系(2月2日) 数学2



第2問

  虚数単位を i で表した複素数平面上の図形について、次の    をうめよ。

  原点をO(0)とする複素数平面上に2点A(2)、B(z)を考える。ここで点Bは原点O
  と点Aと異なる点とし、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf w=\frac{\left(\sqrt3+i\right)z}{2\left(z-2\right)}\end{align*}}$
  を定義する。$\small\sf{w=\sqrt3}$ のとき、z= ①  + ②  i である。 ①  ② 
  実数値で答えよ。また、このzに対して、∠OBA= ③  である。ただし ③ 
  弧度法で答えよ。
  wが実数値をとるようなzがどのような図形の上にあるかを考える。$\small\sf{w=\overline{w}}$ を整理して
  zのみの式にすると
        $\small\sf{\big|z-\big(}$  ④  $\small\sf{\big)\big|=}$  ⑤    ・・・・・・(*)
  となるので、点zは中心が複素数 ④  で表され、半径 ⑤  の円周上にある
  ことがわかる。この円をCとする。次の式
        $\small\sf{\left(1+2i\right)z+\left(1-2i\right)\overline{z}=2-4\sqrt3}$
  をみたす点zの表す図形Lと円Cとの共有点を調べる。複素数$\small\sf{\alpha}$ に対して
        $\small\sf{\beta=\left(1+2i\right)\alpha}$
  とおく。$\small\sf{\alpha}$ が図形Lと円Cとの共有点になるとする。$\small\sf{\alpha}$ は図形L上の点だから、$\small\sf{\beta}$ の実部
  は ⑥  である。さらに$\small\sf{\alpha}$ は(*)の式を満たすので、点$\small\sf{\beta}$ は中心を表す複素数が
  $\small\sf{1-2\sqrt3+\big(}$  ⑦  $\small\sf{\big)\ i}$ であって、半径が ⑧  である円周上にある。このことから
        $\small\sf{\beta=}$  ⑥  $\small\sf{+\big(2+\sqrt3\pm}$  ⑨  $\small\sf{\big)\ i}$
  と求まる。




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