ア $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3}{8}\end{align*}}$ イ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{256}\end{align*}}$ ウ 13 エ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{5}{8}\end{align*}}$ オ 10
カ 4 キ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{297}{2048}\end{align*}}$ ク $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1053}{4096}\end{align*}}$
【解説】
A君、B君のn回目の数字をそれぞれ$\scriptsize\sf{a_n,\ b_n}$ で表すことにする。
ア
$\scriptsize\sf{S_2\leqq 4}$ となるのは
$\scriptsize\sf{(a_1,a_2)=(1,1),\ (1,2),\ (1,3),\ (2,1),\ (2,2),\ (3,1)}$
の6通りなので、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{6}{4^2}=\underline{\frac{3}{8}}\end{align*}}$
イ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_4=16\end{align*}}$ となるのは、
$\scriptsize\sf{(a_1,a_2,a_3,a_4)=(4,4,4,4)}$
の1通りなので、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{4^4}=\underline{\frac{1}{256}}\end{align*}}$
ウ
・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_2=6\end{align*}}$ となるのは、
$\scriptsize\sf{(a_1,a_2)=(2,4),\ (3,3),\ (4,2)}$
の3通り。このとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_{10}=15\ \ \Leftrightarrow\ \ a_3+a_4+\cdots +a_{10}=9\end{align*}}$
これは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_3,a_4\,\cdots ,a_{10}\end{align*}}$ のうち1つが2で、残りがすべて1であればよいので8通り
・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_2=7\end{align*}}$ となるのは、
$\scriptsize\sf{(a_1,a_2)=(3,4),\ (4,3)}$
の2通り。このとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_{10}=15\ \ \Leftrightarrow\ \ a_3+a_4+\cdots +a_{10}=8\end{align*}}$
これは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_3=a_4=\cdots=a_{10}=1\end{align*}}$ の1通り
・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_2=8\end{align*}}$ のときは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_{10}\geqq15\end{align*}}$ となり不適
以上より、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3\cdot 8+2\cdot 1}{4^{10}}=\underline{\frac{13}{2^{19}}}\end{align*}}$
エ
1回の試行(★)について
① Aが勝つ場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (a_1,b_2)=(2,1),\ (3,1),\ (3,2),\ (4,1),\ (4,2),\ (4,3) \end{align*}}$
の6通りなので、確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{6}{4^2}=\frac{3}{8}\end{align*}}$
② Bが勝つ場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (a_1,b_2)=(1,2),\ (1,3),\ (1,4),\ (2,3),\ (2,4),\ (3,4) \end{align*}}$
の6通りなので、確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{6}{4^2}=\frac{3}{8}\end{align*}}$
③ 引き分ける場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (a_1,b_2)=(1,1),\ (2,2),\ (3,3),\ (4,4) \end{align*}}$
の4通りなので、確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{4}{4^2}=\frac{1}{4}\end{align*}}$
よって、1回の試行でAが得点する確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3}{8}+\frac{1}{4}=\underline{\frac{5}{8}}\end{align*}}$
オ
少なくとも一方が10点以上になるまでの試行の回数が最大になるのは、
1～9回目の試行ですべて引き分けるときなので、合計で10回
カ
少なくとも一方が10点以上になるまでの試行の回数が最小になるのは、
(i) 一方が1回目の試行から4連勝する
(ii) 一方が1回目の試行から3勝1引き分け
いずれの場合も試行の回数は4回である。
キ
(i) Aが1回目の試行から4連勝する確率
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{3}{8}\right)^4=\frac{81}{4096}\end{align*}}$
(ii) Aが1回目の試行から3勝1引き分けとなる確率
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{3}{8}\right)^3\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{4!}{3!}=\frac{216}{4096}\end{align*}}$
Bについても同様なので、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{81}{4096}+\frac{216}{4096}\right)\cdot 2=\underline{\frac{297}{2048}}\end{align*}}$
ク
ちょうど5回目の試行で、Aの合計得点が初めて10点以上となるのは、
次の3つの場合がある
(ⅲ) 1～4回目の試行でAが3勝1敗、5回目でAが得点する場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{3}{8}\right)^3\cdot\frac{3}{8}\cdot\frac{4!}{3!}\cdot\frac{5}{8}=\frac{3^4\cdot 20}{8^5}\end{align*}}$
(ⅳ) 1～4回目の試行でAが2勝1敗1分け、5回目でAが勝つ場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{3}{8}\right)^2\cdot\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{4!}{2!}\cdot\frac{3}{8}=\frac{3^4\cdot 24}{8^5}\end{align*}}$
(ⅴ) 1～4回目の試行でAが2勝2分、5回目でAが勝つ場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{3}{8}\right)^2\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^2\cdot\frac{4!}{2!\ 2!}\cdot\frac{3}{8}=\frac{3^4\cdot 8}{8^5}\end{align*}}$
Bについても同様なので、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3^4}{8^5}\cdot\left(20+24+8\right)\cdot 2=\underline{\frac{1053}{4096}}\end{align*}}$
