第3問
xyz空間に点$\small\sf{O\left(0,0,0,\right)\ ,\ A\left(1,-1,1\right)\ ,\ B\left(-3,1,3\right)}$ および点Pを考える。
(1) Pが直線AB上にあるとする。Pが線分ABの中点であるとき、Pの座標は ア である。
Pがyz平面上にあるとき、Pの座標は イ である。直線OPが直線ABと直交するとき、
Pの座標は ウ である。
(2) PがAP=BPを満たすとする。このとき、$\small\sf{\overrightarrow{\sf AP}\cdot\overrightarrow{\sf AB}=}$ エ である。また、$\small\sf{P\left(x,y,z\right)}$ とするとき、
zをx、yを用いて表すと、z= オ である。さらに、3点O、A、Pが同一直線上にあるとき、
Pの座標は カ である。
(3) rを定数とし、PはAP+BP=rを満たしながら動くとする。rのとり得る範囲はr≧ キ である。
r= キ のとき、Pは2点 ク 、 ケ を端点とする線分上にある。
r＞ キ とする。Pが直線AB上にあるならば、$\small\sf{\overrightarrow{\sf AP}=}$ コ $\small\sf{\overrightarrow{\sf AB}}$ または、$\small\sf{\overrightarrow{\sf AP}=}$ サ $\small\sf{\overrightarrow{\sf AB}}$ が
成り立つ。また、Pと直線ABの距離の最大値をrを用いて表すと、 シ となる。
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【解答】
ア $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(-1,0,2\right)\end{align*}}$ イ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(0,-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)\end{align*}}$ ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)\end{align*}}$ エ 12 オ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2x-y+4\end{align*}}$
カ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left(-2,2,-2\right) \end{align*}}$ キ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\sqrt6\end{align*}}$ ク A ケ B コ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{12+\sqrt6\ r}{24}\end{align*}}$
サ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{12-\sqrt6\ r}{24}\end{align*}}$ シ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\sqrt{r^2-24}}{2}\end{align*}}$
【解説】
ア
線分ABの中点をMとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf M\left(\frac{1-3}{2},\frac{-1+1}{2},\frac{1+3}{2}\right)=\underline{\left(-1,0,2\right)}\end{align*}}$
イ
3点Ａ、Ｂ、Ｐは同一直線上にあるので、実数ｔを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AP}=t\overrightarrow{\sf AB} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OP}&=\sf t\left(\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OA}\right)+\overrightarrow{\sf OA} \\ &=\sf t\left(-4,2,2\right)+\left(1,-1,1\right)\\ &=\sf \left(-4t+1,2t-1,2t+1\right)\end{align*}}$
Pがyz平面上にあるとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -4t+1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\frac{1}{4}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{P\left(0,-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)}\end{align*}}$
ウ
OP⊥ABなので、内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf AB}=\sf -4\left(-4t+1\right)+2\left(2t-1\right)+2\left(2t+1\right) =0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=\frac{1}{6}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{P\left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)}\end{align*}}$
エ
APP=BPよりPM⊥ABなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AP}\cdot\overrightarrow{\sf AB}&=\sf |\overrightarrow{\sf AB}||\overrightarrow{\sf AP}\cos\angle PAM| \\ &=\sf |\overrightarrow{\sf AB}||\overrightarrow{\sf AM}|\\ &=\sf \frac{1}{2}|\overrightarrow{\sf AB}|^2\\ &=\sf \frac{1}{2}\cdot \left\{(-4)^2+2^2+2^2\right\}\\ &=\sf \underline{12}\end{align*}}$
オ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(x,y,z)\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AP}=\left(x-1,y+1,z-1\right)\ ,\ \ \overrightarrow{\sf AB}=\left(-4,2,2\right)\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AP}\cdot\overrightarrow{\sf AB}=-4\left(x-1\right)+2\left(y+1\right)+2\left(z-1\right)=12 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ z=\underline{2x-y+4}\end{align*}}$
カ
3点O、A、Ｐは同一直線上にあるので、実数sを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}=s\overrightarrow{\sf OA}\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x,y,2x-y+4\right)=s\left(1,-1,1\right) \end{align*}}$
と表すことができる。成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}\sf x=s\\ \sf y=-s\\ \sf 2x-y+4=s \end{array} \right.\end{eqnarray}}$
これを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=s=-2\ ,\ y=2 \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{P\left(-2,2,-2\right)}\end{align*}}$
キ
三角不等式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AP+BP\geqq AB=\sqrt{(-4)^2+2^2+2^2}=\underline{2\sqrt6} \end{align*}}$
ク 、 ケ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AP+BP=AB\end{align*}}$ となるのは、Pが線分AB上にあるとき
コ 、 サ
・3点A、B、Pがこの順で並ぶとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AP+BP=r\ ,\ AP-BP=AB=2\sqrt6\end{align*}}$
より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AP=\frac{r+2\sqrt6}{2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AP}=\frac{AP}{AB}\overrightarrow{\sf AB}=\frac{\frac{r+2\sqrt6}{2}}{2\sqrt6}\overrightarrow{\sf AB}=\underline{\frac{12+\sqrt6\ r}{24}\overrightarrow{\sf AB}}\end{align*}}$
・3点B、A、Pがこの順で並ぶとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AP+BP=r\ ,\ BP-AP=AB=2\sqrt6\end{align*}}$
より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AP=\frac{r-2\sqrt6}{2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AP}=-\frac{AP}{AB}\overrightarrow{\sf AB}=-\frac{\frac{r-2\sqrt6}{2}}{2\sqrt6}\overrightarrow{\sf AB}=\underline{\frac{12-\sqrt6\ r}{24}\overrightarrow{\sf AB}}\end{align*}}$
シ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AP+BP=r \end{align*}}$ （一定）なので、Pは2点A、Bを焦点とする楕円上の点である。
PとAB（長軸）の距離が最大となるのは、Pが短軸上の頂点と一致するときであり、
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AP=BP=\frac{r}{2} \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r=PM=\sqrt{\left(\frac{r}{2}\right)^2-AM^2}=\underline{\frac{\sqrt{r^2-24}}{2}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/02/23(土) 23:57:00|
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