第1問
nを3以上の自然数、aを正の実数とする。x≧0において定義された関数
$\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=x^n\ ,\ \ g(x)=a^2x^{n-2}\end{align*}}$ に対して$\small\sf{\begin{align*}\sf S=\int_0^1\left|f(x)-g(x)\right|dx\end{align*}}$ とする。
(1) $\small\sf{y=f(x)}$ と$\small\sf{y=g(x)}$ はnの値によらずx= ア で共有点をもつ。また、$\small\sf{f(x)}$ の第2次
導関数$\small\sf{f''(x)}$ が関数$\small\sf{g(x)}$ に等しくなるのは、a= イ のときである。
(2) $\small\sf{n=3}$ とし、$\small\sf{0\lt a\lt 1}$ とする。このとき、Sをaを用いて表すと、S= ウ である。
また、$\small\sf{0\leqq x\leqq 1}$ の範囲において、$\small\sf{g(x)-f(x)}$ は、x= エ のとき、最大値 オ をとる。
(3) Sをa、nを用いて表すと、$\small\sf{0\lt a\lt 1}$ であるとき、S= カ 、$\small\sf{a\geqq 1}$ であるとき、
S= キ である。各nに対して、Sを最小にするaをnを用いて表すと、a= ク である。
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【解答】
ア $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0, \ a\end{align*}}$ イ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\sqrt{n(n-1)} \end{align*}}$ ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2a^4-2a^2+1}{4}\end{align*}}$ エ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{a}{\sqrt3}\end{align*}}$ オ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{2\sqrt3}{9}a^3 \end{align*}}$
カ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{4a^{n-1}-(n+1)a^2+n-1}{n^2-1}\end{align*}}$ キ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{(n+1)a^2-n+1}{n^2-1}\end{align*}}$ ク $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{\sqrt[n-1]{}2}\end{align*}}$
【解説】
ア
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=g(x)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^n=a^2x^{n-2}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^{n-2}(x^2-a^2)=0\\&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=0,\ \pm a\end{align*}}$
であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x\geqq 0\ ,\ \ a\gt 0\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{x=0\ ,\ a}\end{align*}}$
イ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)=nx^{n-1}\ ,\ \ f''(x)=n(n-1)x^{n-2} \end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(x)\end{align*}}$ と係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n(n-1)=a^2\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{a=\sqrt{n(n-1)}\ \ (\gt 0)}\end{align*}}$
ウ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n=3\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)-g(x)=x^3-a^2x=x(x-a)(x+a)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt a\lt 1\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt x\lt a \end{align*}}$ のとき $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)-g(x)\lt 0 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a\lt x\lt 1 \end{align*}}$ のとき $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)-g(x)\gt 0 \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf\int_0^1\left|f(x)-g(x)\right|dx \\ &=\sf\int_0^a\left\{g(x)-f(x)\right\}dx+\int_a^1\left\{f(x)-g(x)\right\}dx \\ &=\sf\int_0^a\left(-x^3+a^2x\right)dx+\int_a^1\left(x^3-a^2x\right)dx \\ &=\sf\left[-\frac{1}{4}x^4+\frac{a^2}{2}x^2\right]_0^a+\left[\frac{1}{4}x^4-\frac{a^2}{2}x^2\right]_a^1 \\ &=\sf \underline{\frac{2a^4-2a^2+1}{4}}\end{align*}}$
エ 、 オ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h(x)=g(x)-f(x)=-x^3+a^2x\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h'(x)=-3x^2+a^2=-3\left(x-\frac{a}{\sqrt3}\right)\left(x+\frac{a}{\sqrt3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a\gt 0\end{align*}}$ より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h(x) \end{align*}}$ の増減は次のようになる。
これより、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h(x)\end{align*}}$ の最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h(x)_{max}=\underline{h\left(\frac{a}{\sqrt3}\right)=\frac{2\sqrt3}{9}a^3}\end{align*}}$
カ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)-g(x)=x^n-a^2x^{n-2}=x^{n-2}(x-a)(x+a)\end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt a\lt 1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt x\lt a \end{align*}}$ のとき $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)-g(x)\lt 0 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a\lt x\lt 1 \end{align*}}$ のとき $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)-g(x)\gt 0 \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf\int_0^1\left|f(x)-g(x)\right|dx \\ &=\sf\int_0^a\left\{g(x)-f(x)\right\}dx+\int_a^1\left\{f(x)-g(x)\right\}dx \\ &=\sf\int_0^a\left(-x^n+a^2x^{n-2}\right)dx+\int_a^1\left(x^n-a^2x^{n-2}\right)dx \\ &=\sf\left[-\frac{1}{n+1}x^{n+1}+\frac{a^2}{n-1}x^{n-1}\right]_0^a+\left[\frac{1}{n+1}x^{n+1}-\frac{a^2}{n-1}x^{n-1}\right]_a^1 \\ &=\sf \underline{\frac{4a^{n-1}-(n+1)a^2+n-1}{n^2-1}}\end{align*}}$
キ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a\geqq 1\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq x\leqq 1 \end{align*}}$ で常に $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)-g(x)\lt 0 \end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf\int_0^1\left\{f(x)-g(x)\right\}dx \\ &=\sf\int_0^1\left(-x^n+a^2x^{n-2}\right)dx\\ &=\sf\left[-\frac{1}{n+1}x^{n+1}+\frac{a^2}{n-1}x^{n-1}\right]_0^1 \\ &=\sf \underline{\frac{(n+1)a^2-n+1}{n^2-1}}\end{align*}}$
ク
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a\geqq 1\end{align*}}$ のとき、Sをaで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dS}{da}=\frac{2}{n-1}a\gt 0\end{align*}}$
となるので、この範囲でSは単調に増加する。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt a\lt 1\end{align*}}$ のとき、Sをaで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dS}{da}&=\sf\frac{1}{n^2-1}\left\{4(n+1)a^n-2(n+1)a\right\} \\ &=\sf \frac{2a}{n-1}\left(2a^{n-1}-1\right) \end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dS}{da}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\frac{1}{\sqrt[n-1]{2}}\sf \end{align*}}$
であり、この値の前後で$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{dS}{da}\end{align*}}$ の符号は負から正に変化するので、
Sが最小となるのは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{a=\frac{1}{\sqrt[n-1]{2}}} \end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/02/21(木) 23:57:00|
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