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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019同志社大 理工学部 数学4



第4問

  x、yを整数、nを自然数、iを虚数単位とする。x、yが整数全体を動くとき、
  (1+2i)(x+yi)と表される複素数全体の集合である無限集合をLとする。
  さらに、Lの要素のうち、実部と虚部がともに0以上かつn以下であるものの
  個数をmnとする。次の問いに答えよ。

 (1) (1+2i)(x1+y1i)=5、(1+2i)(x2+y2i)=5iを満たす整数
    x1、y1、x2、y2を求めよ。

 (2) s、tが実数のとき、(1+2i)(s+ti)の実部と虚部がともに0以上かつ
    5以下となるためのs、tの条件を求めよ。

 (3) m5を求めよ。また、(1+2i)(x+yi)の実部と虚部がともに1以上かつ
    4以下となるような整数x、y値の組(x,y)をすべて求めよ。

 (4) zを複素数とする。$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{z}{1+2i}\end{align*}}$ の実部と虚部に注目して、zがLの要素である
    とき、z+5、z+5iはともにLの要素であることを示せ。また、zがLの要素
    でないとき、z+5、z+5iはともにLの要素でないことを示せ。

 (5) m10を求めよ。また、kを自然数として、m5kをkを用いて表せ。

 (6) mn≦2019<mn+1となるnを求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2019/02/20(水) 23:57:00|
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