第4問
x、yを整数、nを自然数、iを虚数単位とする。x、yが整数全体を動くとき、
(1+2i)(x+yi)と表される複素数全体の集合である無限集合をLとする。
さらに、Lの要素のうち、実部と虚部がともに0以上かつn以下であるものの
個数をmnとする。次の問いに答えよ。
(1) (1+2i)(x1+y1i)=5、(1+2i)(x2+y2i)=5iを満たす整数
x1、y1、x2、y2を求めよ。
(2) s、tが実数のとき、(1+2i)(s+ti)の実部と虚部がともに0以上かつ
5以下となるためのs、tの条件を求めよ。
(3) m5を求めよ。また、(1+2i)(x+yi)の実部と虚部がともに1以上かつ
4以下となるような整数x、y値の組(x，y)をすべて求めよ。
(4) zを複素数とする。$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{z}{1+2i}\end{align*}}$ の実部と虚部に注目して、zがLの要素である
とき、z+5、z+5iはともにLの要素であることを示せ。また、zがLの要素
でないとき、z+5、z+5iはともにLの要素でないことを示せ。
(5) m10を求めよ。また、kを自然数として、m5kをkを用いて表せ。
(6) mn≦2019＜mn+1となるnを求めよ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1+2i\right)\left(x_1+y_1i\right)=5\ \ \Leftrightarrow\ \ x_1+y_1i=\frac{5}{1+2i}=\frac{5\left(1-2i\right)}{1^2+2^2}=1-2i\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1+2i\right)\left(x_2+y_2i\right)=5i\ \ \Leftrightarrow\ \ x_2+y_2i=\frac{5i}{1+2i}=\frac{5i\left(1-2i\right)}{1^2+2^2}=2+i\end{align*}}$
成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{x_1=1\ ,\ \ y_1=-2\ ,\ \ x_2=2\ ,\ \ y_2=1}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1+2i\right)\left(s+ti\right)=\left(s-2t\right)+\left(2s+t\right)i\end{align*}}$
より、実部に関する条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq s-2t\leqq 5\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\frac{1}{2}s-\frac{5}{2}\leqq t\leqq\frac{1}{2}s}\end{align*}}$
虚部に関する条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq 2s+t\leqq 5\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{-2s\leqq t\leqq -2s+5}\end{align*}}$
(3)
(4)の条件を図示すると、右図のようになり、
この領域内の格子点の個数が$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m_5\end{align*}}$ に等しいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m_5=\underline{8}\end{align*}}$
また、この領域内で実部と虚部がともに1以上かつ4以下と
なるような格子点は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (x,\ y)=\underline{(1,\ 0)\ ,\ (2,\ 0)\ ,\ (1,\ -1)\ ,\ (2,\ -1)}\end{align*}}$
(4)
【前半の証明】
zはLの要素なので整数m、nを用いて$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z=(1+2i)(m+ni)\end{align*}}$ と表すことができる。
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{z+5}{1+2i}=\frac{(1+2i)(m+ni)+(1+2i)(1-2i)}{1+2i}=m+1+(n-2)i\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{z+5i}{1+2i}=\frac{(1+2i)(m+ni)+(1+2i)(2+i)}{1+2i}=m+2+(n+1)i\end{align*}}$
となり、m、nは整数なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z+5,\ z+5i\end{align*}}$ はともにLの要素となる。
【後半の証明】
前半と同様に考えると、zがLの要素であるとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z-5,\ z-5i\end{align*}}$ はともにLの要素である。
よって、前半の証明より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z+5\end{align*}}$ または$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z+5i\end{align*}}$ がLの要素であるとき、zもLの要素である。
対偶を考えると、zがLの要素でないとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z+5,\ z+5i\end{align*}}$ はともにLの要素ではない。
(5)
(2)と同様に、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1+2i\right)\left(s+ti\right)\end{align*}}$ の実部と虚部がともに0以上10以下となるような
実数s、tの条件をst平面に図示したものが下の図であり、この領域（$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D_{10} \end{align*}}$ とする）内の
格子点の個数が$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m_{10} \end{align*}}$ に等しい。
まず、傾きが$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -2\end{align*}}$ である3本の直線 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=-2x+5M\ \ (M=0,1,2)\end{align*}}$ と
傾きが$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ である3本の直線 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{1}{2}x-\frac{5N}{2}\ \ (N=0,1,2)\end{align*}}$ の交点（青色の点）は32個ある。
さらに、領域$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D_{10} \end{align*}}$ はこれら6本の直線によって、22個の小領域に分けられ、各小領域にはそれぞれ4個
ずつの格子点(赤色の点）があるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m_{10}=3^2+4\cdot 2^2=\underline{25}\end{align*}}$
同様に、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1+2i\right)\left(s+ti\right)\end{align*}}$ の実部と虚部がともに0以上5k以下となるような
実数s、tの条件を満たす領域を$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D_{5k} \end{align*}}$ とすると、
この領域内の格子点の個数が$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m_{5k} \end{align*}}$ に等しい。
まず、傾きが$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -2\end{align*}}$ であるk+1本の直線 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=-2x+5M\ \ (M=0,1,\cdots ,k)\end{align*}}$ と
傾きが$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ であるk+1本の直線 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{1}{2}x-\frac{5N}{2}\ \ (N=0,1,\cdots ,k)\end{align*}}$ の交点は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (k+1)^2 \end{align*}}$ 個ある。
さらに、領域$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D_{5k} \end{align*}}$ はこれら$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2(k+1)\end{align*}}$本の直線によって、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k^2 \end{align*}}$個の小領域に分けられ、各小領域には
それぞれ4個ずつの格子点があるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m_{5k}=(k+1)^2+4k^2=\underline{5k^2+2k+1}\end{align*}}$
(6)
(5)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m_{100}=5\cdot 20^2+2\cdot 20+1=2041\end{align*}}$
領域$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D_{100} \end{align*}}$ 内の格子点のうち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x-2y=100\end{align*}}$ または $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2x+y=100 \end{align*}}$
を満たすものは $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\cdot 20 +1=41\end{align*}}$ 個あるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m_{99}=m_{100}-41=2000\end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m_n\leqq 2019\lt m_{n+1}\end{align*}}$ を満たすnの値は
$\scriptsize\sf{n=\underline{99}}$
である。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/02/20(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2019(理工)
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