第1問
次の に適する数または式を、解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ。
(2) 2つの正の実数$\small\sf{\alpha,\beta}$ は$\small\sf{\alpha+\beta\lt 1}$ を満たすとする。金貨と銀貨が1枚ずつあり、投げたとき
表が出る確率が金貨は$\small\sf{\alpha}$ 、銀貨は$\small\sf{\beta}$ とする。この2枚の硬貨から1枚を選んで投げる試行
を繰り返す。ただし、この試行において、表が出たときは次の試行では同じ硬貨を選び、裏
が出たときは別の硬貨を選ぶものとする。n回目の試行において、金貨が選ばれる確率を
pn、選ばれる硬貨に関わらず表が出る確率をqnとし、p1=t （0＜t＜1)とする。
このとき、q1= カ 、p2= キ 、pn+1=( ク )pn+1$\small\sf{-\beta}$ 、
$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}p_n=\frac{\mbox{ケ}}{2-\alpha-\beta}\ ,\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}q_n=\frac{\mbox{コ}}{2-\alpha-\beta}\end{align*}}$ である。
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【解答】
カ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha+\beta(1-t)\end{align*}}$ キ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (\alpha+\beta-1)t-\beta+1\end{align*}}$ ク $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha+\beta-1\end{align*}}$ ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-\beta\end{align*}}$
コ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha+\beta-2\alpha\beta\end{align*}}$
【解説】
カ
・1回目の試行で金貨が選ばれる確率は$\scriptsize\sf{t}$ 、表が出る確率は $\scriptsize\sf{\alpha }$
・1回目の試行で銀貨が選ばれる確率は$\scriptsize\sf{1-t}$ 、表が出る確率は $\scriptsize\sf{\beta}$
よって、
$\scriptsize\sf{q_1=\underline{\alpha t+\beta (1-t)}}$
キ
・1回目の試行で金貨が選ばれる確率は$\scriptsize\sf{t}$ 、表が出る確率は $\scriptsize\sf{\alpha}$
・1回目の試行で銀貨が選ばれる確率は$\scriptsize\sf{1-t}$ 、裏が出る確率は $\scriptsize\sf{1-\beta}$
よって、
$\scriptsize\sf{p_2=\alpha t+(1-\beta) (1-t)=\underline{(\alpha+\beta)t-\beta+1}}$
ク
・n回目の試行で金貨が選ばれる確率は$\scriptsize\sf{p_n}$ 、表が出る確率は $\scriptsize\sf{\alpha}$
・n回目の試行で銀貨が選ばれる確率は$\scriptsize\sf{1-p_n}$ 、裏が出る確率は $\scriptsize\sf{1-\beta}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_{n+1}&=\sf \alpha p_n+\left(1-\beta\right)\left(1-p_n\right) \\ &=\sf \underline{\left(\alpha+\beta-1\right)p_n+1-\beta}\end{align*}}$ ･･････(i)
ケ
特性方程式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c=\left(\alpha+\beta-1\right)c+1-\beta\end{align*}}$ ･･････(ii)
の解は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c=\frac{1-\beta}{2-\alpha-\beta}\end{align*}}$
2式(i)、(ii)の差をとると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_{n+1}-c=\left(\alpha+\beta-1\right)(p_n-c)\end{align*}}$
となり、数列$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left\{p_n-c\right\}\end{align*}}$ は公比$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha+\beta-1\end{align*}}$ の等比数列をなすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_n-c=\left(\alpha+\beta-1\right)^{n-1}\left(p_1-c\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_n=\left(\alpha+\beta-1\right)^{n-1}\left(t-c\right)+c\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{-1\lt\alpha+\beta-1\lt 0}$ なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\alpha+\beta-1\right)^{n-1}=0\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}p_n=c=\underline{\frac{1-\beta}{2-\alpha-\beta}}\end{align*}}$
ケ
・n回目の試行で金貨が選ばれる確率は$\scriptsize\sf{p_n}$ 、表が出る確率は $\scriptsize\sf{\alpha}$
・n回目の試行で銀貨が選ばれる確率は$\scriptsize\sf{1-p_n}$ 、表が出る確率は $\scriptsize\sf{\beta}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q_{n}&=\sf \alpha p_n+\beta\left(1-p_n\right) \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}q_n&=\sf\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\alpha p_n+\beta\left(1-p_n\right) \right\} \\ &=\sf \alpha\cdot\frac{1-\beta}{2-\alpha-\beta}+\beta\left(1-\frac{1-\beta}{2-\alpha-\beta}\right) \\ &=\sf \underline{\frac{\alpha+\beta-2\alpha\beta}{2-\alpha-\beta}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/02/17(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2019(理工)
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