第1問
次の に適する数または式を、解答用紙の同じ記号のついた の中に記入
せよ。
(1) 座標空間内のxy平面上に3点$\small\sf{A(5,5,0)\ ,\ B(0,10,0)\ ,\ C(-4,2,0)}$ がある、このとき、
△ABCの面積は ア であり、△ABCの外接円の半径は イ である。次に、
$\small\sf{\theta}$ を実数として、点$\small\sf{D\left(10\sqrt2\cos^2\theta-5\sqrt2-9 ,\ 5\sqrt2\cos\theta\sin\theta-\frac{1}{2},\ 5\right)}$ とおく。点Dの
x座標は$\small\sf{\cos2\theta}$ を用いて ウ と表すことができる。四面体ABCDにおいてAB⊥CD
が成り立つような$\small\sf{\theta}$ は$\small\sf{0\leqq\theta\lt 2\pi}$ の範囲に全部で エ 個存在する。特に、その中で
$\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ を満たす$\small\sf{\theta}$ を$\small\sf{\theta_0}$ とおくと、$\small\sf{\theta_0=}$ オ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア 30 イ 5 ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 5\sqrt2\cos 2\theta-9\end{align*}}$ エ 4 オ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{8}\end{align*}}$
【解説】
ア
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AB}=\left(-5,5,0\right)\ ,\ \ \overrightarrow{\sf AC}=\left(-9,-3,0\right)\end{align*}}$ より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf AB}\right|=\sqrt{(-5)^2+5^2+0}=5\sqrt2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf AC}\right|=\sqrt{(-9)^2+(-3)^2+0}=3\sqrt{10}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=45-15+0=30\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\angle BAC=\frac{30}{5\sqrt2\cdot 3\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\angle BAC=\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt5}\right)^2}=\frac{2}{\sqrt5}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle ABC=\frac{1}{2}\cdot 5\sqrt2\cdot 3\sqrt{10}\cdot \frac{2}{\sqrt5}=\underline{30}\end{align*}}$
イ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf BC}=\left(-4,-8,0\right)\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf BC}\right|=\sqrt{(-4)^2+(-8)^2+0}=4\sqrt5\end{align*}}$
△ABCの外接円の半径をRとすると、正弦定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2R=\frac{4\sqrt5}{\frac{2}{\sqrt5}}=10\ \ \Leftrightarrow\ \ R=\underline{5}\end{align*}}$
ウ
cosの倍角公式より、Dのx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 10\sqrt2\cos^2\theta-5\sqrt2-9&=\sf 5\sqrt2\left(2\cos^2\theta-1\right)-9\\ &=\sf \underline{5\sqrt2\cos 2\theta-9}\end{align*}}$
エ
sinの倍角公式より、Dのy座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 5\sqrt2\cos\theta\sin\theta-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\sqrt2\sin 2\theta-\frac{1}{2}\end{align*}}$
となり、点Dの座標は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(5\sqrt2\cos 2\theta-9,\ \frac{5}{2}\sqrt2\sin 2\theta-\frac{1}{2},\ 5\right)\end{align*}}$ と表せるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CD}=\left(5\sqrt2\cos 2\theta-5,\ \frac{5}{2}\sqrt2\sin 2\theta-\frac{5}{2},\ 5\right)\end{align*}}$
AB⊥CDより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf CD}=-5\left(5\sqrt2\cos 2\theta-5\right)+5\left( \frac{5}{2}\sqrt2\sin 2\theta-\frac{5}{2}\right)+0=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin2\theta=2\cos2\theta-\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$ ･･････(*)
これと $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos^22\theta+\sin^22\theta=1\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(2\cos2\theta-\frac{1}{\sqrt2}\right)^2+\cos^22\theta=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 10\cos^2 2\theta-4\sqrt2\cos2\theta-1==0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(5\sqrt2\cos2\theta+1\right)\left(\sqrt2\cos2\theta-1\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos2\theta=-\frac{1}{5\sqrt2}\ ,\ \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
(*)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos2\theta=-\frac{1}{5\sqrt2}\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin2\theta=-\frac{7}{5\sqrt2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos2\theta=\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin2\theta=\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq\theta\lt 2\pi\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq 2\theta\lt 4\pi\end{align*}}$ なので、これらを満たす$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \theta\end{align*}}$ の値は4個ある。
オ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt\theta_0\lt \frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt 2\theta_0\lt \pi\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos2\theta_0=\frac{1}{\sqrt2}\ ,\ \ \sin2\theta_0=\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\theta_0=\frac{\pi}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta_0=\underline{\frac{\pi}{8}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/02/17(日) 23:54:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2019(理工)
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