第1問
次の に適する数または式を、解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ。
(2) nを5以上の自然数とする。箱にコインがn枚入っており、その内訳は1枚が表と裏の両面が白、
2枚が両面が黒、残り(n-3)枚が表が白裏が黒である。この箱から2枚のコインを同時に取り
出して同時に投げたとき、出た面の色が異なる事象をA、出た面の色がともに白の事象をB、
出ていない面の色がともに黒の事象をC、出ていない面の色が異なる事象をDとする。コインは
投げた時に表と裏が同じ確率で出るとすると、確率P(A)= カ 、P(B)= キ であり、
条件付き確率PB(C)= ク 、PB(D)= ケ である。PB(C)=PB(D)となるのは
n= コ のときである。
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【解答】
カ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{n^2-n+2}{2n(n-1)}\end{align*}}$ キ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{n-3}{4(n-1)}\end{align*}}$ ク $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{n-4}{n}\end{align*}}$ ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{4}{n} \end{align*}}$ コ 8
【解説】
両面が白のコインをa、両面が黒のコインをb、白黒片面ずつのコインをcとおく。
(ア) aとbを1枚ずつ選ぶ確率
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1\cdot 2}{_nC_2}=\frac{4}{n(n-1)} &=\sf \end{align*}}$
(イ) aとcを1枚ずつ選ぶ確率
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1\cdot (n-3)}{_nC_2}=\frac{2(n-3)}{n(n-1)} &=\sf \end{align*}}$
(ウ) bとcを1枚ずつ選ぶ確率
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2\cdot (n-3)}{_nC_2}=\frac{4(n-3)}{n(n-1)} &=\sf \end{align*}}$
(エ) bを2枚選ぶ確率
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{_2C_2}{_nC_2}=\frac{2}{n(n-1)} &=\sf \end{align*}}$
(オ) bを2枚選ぶ確率
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{_{n-3}C_2}{_nC_2}=\frac{(n-3)(n-4)}{n(n-1)} &=\sf \end{align*}}$
カ
事象Aは
(ア)のときは、必ず起こる
(イ)のときは、cの黒の面が出ればよいので、確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}\end{align*}}$
(ウ)のときは、cの白の面が出ればよいので、確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}\end{align*}}$
(エ)のときは、起こらない
(オ)のときは、一方が白の面、他方が黒の面が出ればよいので、確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}\end{align*}}$
以上より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(A)&=\sf \frac{4}{n(n-1)}\cdot 1+\frac{2(n-3)}{n(n-1)}\cdot\frac{1}{2}+\frac{4(n-3)}{n(n-1)}\cdot\frac{1}{2}+\frac{(n-3)(n-4)}{n(n-1)}\cdot\frac{1}{2}\\ &=\sf \underline{\frac{n^2-n+2}{2n(n-1)}} \end{align*}}$
キ
事象Bは
(ア)、(ウ)、(エ)のときは起こらない
(イ)のときは、cの白の面が出ればよいので、確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}\end{align*}}$
(オ)のときは、c2枚ともが白の面が出ればよいので、確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{4}\end{align*}}$
以上より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(B)&=\sf \frac{2(n-3)}{n(n-1)}\cdot\frac{1}{2}+\frac{(n-3)(n-4)}{n(n-1)}\cdot\frac{1}{4}\\ &=\sf \underline{\frac{n-3}{4(n-1)}} \end{align*}}$
ク
事象B∩Cは
(ア)、(イ)、(ウ)、(エ)のときは起こらない
(オ)のときは、c2枚ともが白の面が出ればよいので、確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{4}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(B\cap C)=\frac{(n-3)(n-4)}{n(n-1)}\cdot\frac{1}{4}\\ &=\sf \frac{(n-3)(n-4)}{4n(n-1)} \end{align*}}$
なので、求める条件付き確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_B(C)=\frac{\frac{(n-3)(n-4)}{4n(n-1)}}{\frac{n-3}{4(n-1)}}=\underline{\frac{n-4}{n}}\end{align*}}$
ケ
事象B∩Cは
(ア)、(ウ)、(エ)、(オ)のときは起こらない
(イ)のときは、cの白の面が出ればよいので、確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(B\cap D)=\frac{2(n-3)}{n(n-1)}\cdot\frac{1}{2}\\ &=\sf \frac{n-3}{n(n-1)} \end{align*}}$
なので、求める条件付き確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_B(D)=\frac{\frac{n-3}{n(n-1)}}{\frac{n-3}{4(n-1)}}=\underline{\frac{4}{n}}\end{align*}}$
コ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_B(C)=P_B(D)\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{n-4}{n}=\frac{4}{n}\ \ \Leftrightarrow\ \ n=\underline{8} \end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/02/13(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2019(全学部)
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