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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019同志社大 理系(全学部) 数学4



第4問

  nを9以上の自然数とする。区間0<x<1で定義された関数$\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\frac{1}{x\left(\log x\right)^n}\end{align*}}$ を考える。
  次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{f'(x)=0}$ となるxの値を$\small\sf{a_n}$ とする。$\small\sf{a_n,\ f(a_n)}$ を求めよ。また、$\small\sf{f(a_n)}$ が極大値であるか
    極小値であるかを判定せよ。

 (2) f(x)は2つの変曲点をもつことを示せ。また、それら2つの変曲点を
    $\small\sf{\left(b_n\ ,\ f(b_n)\right)\ ,\ \left(c_n\ ,\ f(c_n)\right)\ \ \left(b_n\lt c_n\right)}$ とするとき、$\small\sf{b_n}$ を求めよ。

 (3) (1)の$\small\sf{a_n}$ と(2)の$\small\sf{b_n}$ は、9以上のすべての自然数nに対して、次の不等式を満たす
    ことを示せ。
        $\small\sf{\begin{align*}\sf 1-\frac{1}{n}-\frac{5}{n^2}\leqq\frac{\log b_n}{\log a_n}\leqq 1-\frac{1}{n}\end{align*}}$
   
 (4) 不定積分$\small\sf{\int f(x)dx}$ を求めよ。

 (5) 曲線$\small\sf{y=f(x)\ \ (0\lt x\lt 1)}$ と2直線$\small\sf{x=a_n\ ,\ x=b_n}$ 、およびx軸で囲まれた図形の面積を
    Snとするとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{n\rightarrow\infty}n^nS_n\end{align*}}$ を求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2019/02/16(土) 23:57:00|
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