第4問
次の をうめよ。
(1) 座標平面上に2点A(2，1)、B(a，2)をとる。線分ABの垂直二等分線が
(1，3)を通るようなaの値は ① である。
(2) $\small\sf{-\pi\lt \theta\lt\pi}$ において、$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}=-1\end{align*}}$ を満たす$\small\sf{\theta}$ は ② である。
(3) 極座標$\small\sf{(r,\ \theta)}$ に関する極方程式
$\small\sf{r\left(1+2\sin\theta\right)=3}$
を直交座標(x，y)に関する方程式で表すと、
③ $\small\sf{x^2+(y-2)^2=1}$
である。
(4) -2、1、1、2、4、4と書かれたさいころを3回投げ、出た目を順にa、b、cとする。
積abcが8となる確率は ④ である。
(5) nn+55が平方数であるような自然数nのうちで最大のnは ⑤ である。
ここで平方数とは、自然数の2乗で表される数のことである。
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【解答】
① $\scriptsize\sf{3,\ -1}$ ② $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ③ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{1}{3}\end{align*}}$ ④ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{7}{54}\end{align*}}$ ⑤ 3
【解説】
(1)
C(1，3)とおくと、AB=BCなので
$\scriptsize\sf{(2-1)^2+(1-3)^2=(a-1)^2+(2-3)^2\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\underline{3,\ -1}}$
(2)
$\scriptsize\sf{-\pi\lt \theta\lt\pi}$ において、$\scriptsize\sf{\sin\theta\ne 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta\ne 0}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}=1&t\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \sin\theta-\cos\theta=-1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \sqrt2\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=-1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt2}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \theta-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}\ , \ -\frac{3}{4}\pi\ \ \ \ \ \left(-\frac{\pi}{4}\lt\theta-\frac{\pi}{4}\lt\frac{3}{4}\pi\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \theta=\underline{-\frac{\pi}{2}\ \left(\ne 0\right)} \end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r+2r\sin\theta=3&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf r+2y=3\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf r=3-2y \end{align*}}$
両辺を2乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r^2=(3-2y)^2&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2+y^2=4y^2-12y+9 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf -x^2+3y^2-12y+9=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf\underline{-\frac{1}{3}x^2+\left(y-2\right)^2=1} \end{align*}}$
(4)
目の出方の総数は63通り
・2の目が3回出る場合は1通り
・2の目が1回、-2の目が2回出る場合は3通り
・1、2、4の目が1回ずつ出る場合は2・2・3!=24通り
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1+3+24}{6^3}=\underline{\frac{7}{54}}\end{align*}}$
(5)
mを自然数とすると、
$\scriptsize\sf{9^n+55=m^2\ \ \Leftrightarrow\ \ 55=m^2-9^n=(m-3^n)(m+3^n)}$
と表すことができる。$\scriptsize\sf{m\ ,\ \ 3^n}$ はともに自然数なので、
$\scriptsize\sf{(m-3^n,\ m+3^n)=(1,\ 55)\ ,\ (5,\ 11)}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ (m,\ 3^n)=(28,\ 27)\ ,\ (8,\ 3)}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ (m,\ n)=(28,\ 3)\ ,\ (8, \ 1)}$
よって、題意を満たす最大のnはn=3である。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/02/12(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2019（全学部）
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