2010大阪府立大 工学部 数学１(１)

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【解答】

　(1)(ⅰ)
　　　　a₁≠0よりa₂≠0、a₂≠0よりa₃≠0、･･･・
　　　　以下、帰納的にa_n≠0となるので、
　　　　両辺の逆数をとると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{3a_n+1}{a_n}=\frac{1}{a_n}+3\end{align*}}$　．
　　　　ここで、数列{b_n}を
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=\frac{1}{a_{n}}\end{align*}}$
　　　　で定めると、
　　　　　　　　b₁=4 、　b_n+1=b_n+3
　　　　となるので、{b_n}は、公差3の等差数列となる。よって、
　　　　　　　　b_n=4+3(ｎ－1)=3ｎ+1
　　　　より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{1}{b_{n}}=\underline{\ \frac{1}{3n+1}\ \ }\end{align*}}$

　(1)(ⅱ)
　　　　両辺を3ⁿ⁺¹で割ると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{a_n}{3^n}+\frac{1}{3}\end{align*}}$．
　　　　ここで、数列{c_n}を
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_n=\frac{a_n}{3^n}\end{align*}}$
　　　　で定めると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_1=\frac{1}{3}\ \ ,\ \ c_{n+1}=\frac{2}{3}\ c_n+\frac{1}{3}\end{align*}}$
　　　　これを変形すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_{n+1}-1=\frac{2}{3}\ (c_n-1)\end{align*}}$
　　　　となるので、{c_n－1}は、等差数列となる。よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_{n}-1=-\frac{2}{3}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\ \ \Leftrightarrow\ \ c_n=-\left(\frac{2}{3}\right)^{n}+1\end{align*}}$　．
　　　　これより、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=3^n\cdot c_n=\underline{\ -2^n+3^n\ \ }\end{align*}}$



　　途中式が要らないのであれば、ｎ=1，2，3，･･･と順に代入していって、
　　一般項を類推するという手も汚い手もありますがｗｗ