第1問
aを定数とし、関数$\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=x\left(e^{-x^2}+a\right)\end{align*}}$ の変曲点はすべてx軸上にあるとする。
このとき次の問いに答えよ。
(1) aの値を求めよ。
(2) 曲線y=f(x)の漸近線を求めよ。必要なら$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{t\rightarrow\infty}te^{-t}=0\end{align*}}$ を用いてもよい。
(3) f'(x)=0を満たす実数解はちょうど2個あり、それらを$\small\sf{\alpha,\ \beta\ (\alpha\lt 0\lt \beta)}$ とする。
曲線y=f(x)の概形と(2)で求めた漸近線を解答欄の座標平面上にかけ。
そのとき必要なら$\small\sf{\alpha,\ \beta}$ を用いてよい。ただし、曲線の凹凸は調べなくてもよい。
(4) x軸と曲線y=f(x)とで囲まれた2つの部分の面積をの和Sを求めよ。
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【解説】
(1)
f(x)の第1次および第2次導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)&=\sf \left(e^{-x^2}+a\right)+x\cdot \left(-2xe^{-x^2}\right) \\ &=\sf \left(-2x^2+1\right)e^{-x^2}+a \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f''(x)&=\sf -4xe^{-x^2}+\left(-2x^2+1\right)\left(-2xe^{-x^2}\right) \\ &=\sf \left(4x^3-6x\right)e^{-x^2}\\ &=\sf \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f''(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0,\ \pm\frac{\sqrt6}{2} \end{align*}}$
これらの値の前後でf"(x)の符号が変化するので、曲線y=f(x)の変曲点は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(0,\ 0\right)\ , \ \ \left(\frac{\sqrt6}{2},\ f\left(\frac{\sqrt6}{2}\right)\right)\ , \ \ \left(-\frac{\sqrt6}{2},\ f\left(-\frac{\sqrt6}{2}\right)\right)\end{align*}}$
の3点である。これらがすべてx軸上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(\pm\frac{\sqrt6}{2}\right)=\pm\frac{\sqrt6}{2}\left(e^{-\frac{3}{2}}+a\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\underline{-e^{-\frac{3}{2}}}\end{align*}}$
(2)
(1)より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow \pm\infty}f'(x)=a\end{align*}}$ なので、曲線y=f(x)はx→±∞において、
傾きaの直線に漸近する。
そのy切片をbとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(f(x)-ax\right)=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}xe^{-x^2}=0\end{align*}}$
となるので、漸近線の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{y=ax=-e^{-\frac{3}{2}}x}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(-x)=-x\left(e^{-x^2}+a\right)=-f(x)\end{align*}}$
なので、曲線y=f(x)は原点について対称である。
x≧0の範囲で考えると、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(0)=f\left(\frac{\sqrt6}{2}\right)=0 \end{align*}}$
であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt x\lt\frac{\sqrt6}{2}\end{align*}}$ 範囲でf"(x)＞0なので、この範囲で曲線y=f(x)は
上に凸である。
よって、y=f(x)は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\beta\ (\gt 0)\end{align*}}$ で極大となる。
また、(2)より、x→+∞で直線y=axに漸近するので、曲線y=f(x)の概形は
下図のようになる。
(4)
曲線y=f(x)は原点について対称なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=-x^2\ ,\ \ \frac{dt}{dx}=-2x\end{align*}}$
と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf 2\int_0^{\frac{\sqrt6}{2}}x\left(e^{-x^2}-e^{-\frac{3}{2}}\right)dx \\ &=\sf 2\int_0^{-\frac{3}{2}}xe^t\cdot\frac{dt}{-2x}-2e^{-\frac{3}{2}}\int_0^{\frac{\sqrt6}{2}}xdx\\ &=\sf \bigg[\ e^t\ \bigg]_0^{-\frac{3}{2}}-2e^{-\frac{3}{2}}\left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^{\frac{\sqrt6}{2}}\\ &=\sf \underline{1-\frac{5}{2}e^{-\frac{3}{2}}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/02/09(土) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2019（全学部）
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