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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019立命館大 理系(2月2日) 数学3



第3問

  閉区間$\small\sf{[0,\ \pi]}$ 上で定義された連続関数f(x)があり、区間$\small\sf{(0,\ \pi]}$ 上では
  $\small\sf{\begin{align*}\sf f(t)=\frac{t\sin t}{1-\cos t} \end{align*}}$ で与えられている。定積分$\small\sf{\begin{align*}\sf\int_0^{\pi}f(t)dt\end{align*}}$ の値を求めたい。

 [1] $\small\sf{\begin{align*}\sf f(0)=\lim_{t\rightarrow +0}f(t)=\end{align*}}$  ア  である。

 [2] $\small\sf{0\lt a\leqq \pi}$ として、定積分$\small{\begin{align*}\rm I\sf (a)=\int_a^{\pi}f(t)dt\end{align*}}$ を考える。$\small\sf{\log (1-\cos t)}$ の導関数が
     イ  であるので、部分積分法を用いると、
        $\small\sf{\begin{align*}\rm I\sf (a)=\end{align*}}$  ウ  $\small\sf{\begin{align*}\sf -a\log(1-\cos a)-\int_a^{\pi}\log (1-\cos t)dt\end{align*}}$   (1)
    となる。三角関数の半角の公式を用い、$\small\sf{t=2x}$ と置換積分法を用いると、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \int_a^{\pi}\log\left(1-\cos t\right)dt=\end{align*}}$  エ  $\small\sf{\begin{align*}\sf +4\int_{\frac{a}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\log\left(\sin x\right)dx\end{align*}}$   (2)
    となる。

   極限$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{a\rightarrow +a}\rm I\sf (a)\end{align*}}$ が存在すること、および$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{a\rightarrow +a}a\log\left(1-\cos a\right)=0\end{align*}}$ であることを用いると、
   関係式(1)、(2)より、極限$\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{a\rightarrow +a}\int_{\frac{a}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\log\left(\sin x\right)dx\end{align*}}$ が存在することがわかる。
   そこで、$\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{a\rightarrow +0}\log\left(\sin x\right)dx=J\end{align*}}$ とおいてJを求める。

 [3] $\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt b\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ に対し、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf K(b)=\int_b^{\frac{\pi}{2}-b}\log\left(\sin x\right)dx\ ,\ \ \ L(b)=\int_b^{\frac{\pi}{2}-b}\log\left(\cos x\right)dx\end{align*}}$
    とする。まず、$\small\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{\pi}{2}-x\end{align*}}$ とおいて置換積分法を用いると、
        $\small\sf{k(b)-L(b)=}$  オ 
    がわかる。一方、和については、三角関数の倍角の公式を用い、$\small\sf{2x=t}$ とおくと、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf K(b)+L(b)=\int_{2b}^{\frac{\pi}{2}}\log\left(\sin t\right)dt+\end{align*}}$  カ 
    となる。
    これらより、$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{b\rightarrow +0}K(b)=\end{align*}}$  キ  となる。

 [4] $\small\sf{\begin{align*}\sf J=\lim_{b\rightarrow +0}K(b)\end{align*}}$ と関係式(1)、(2)より
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{\pi}f(t)\ dt=\lim_{a\rightarrow +0}\rm I\sf (a)=\end{align*}}$  ク 
    が得られる。




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