第4問
4つのチームA、B、C、Dが参加し優勝を決める大会がある。大会のルールは、
2つのチームが対戦し、必ず勝敗は決まり、引き分けはないとしている。
A、B、C、Dがそれぞれ対戦した時に、対戦相手に勝つ確率は次の①～④の
とおりである。
① AがBに勝つ確率は$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{2}{3}\end{align*}}$ である。
② AがCに勝つ確率は$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{3}\end{align*}}$ である。
③ AがDに勝つ確率は$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}\end{align*}}$ である。
④ B、C、Dの3チームにおけるどの組合わせも互いに勝つ確率は$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}\end{align*}}$ である。
[1] 春の大会ではA、B、C、Dから選ぶすべての組合わせについて1回ずつ試合を行い、
最も勝ち数の多いチームを優勝とする。ただし、複数のチームの勝ち数が最大である
場合は、勝ち数が最大のチームすべてが優勝とする。
すべての試合数は ア である。Aが全勝する確率は イ である。AがCのみに
負けるが、Cが全勝しない確率は ウ である。春の大会で、Aが優勝する確率は
エ である。
[2] 秋の大会では、くじで2チームずつに分かれて1回戦を行い、1回戦の勝者同士で
2回戦を行ってその勝者を優勝とする。Aが1回戦でBと対戦し、かつ2回戦でCと
対戦する確率は オ である。秋の大会で、Aが優勝する確率は カ である。
[3] AがA'チームと交代して、A'、B、C、Dが大会に参加する。大会のルールは
変わらず、A'、B、C、Dがそれぞれ対戦した時に、対戦相手に勝つ確率は、
A'については次の①'～③'の通りであり、その他については④のままである。
①' A'がBに勝つ確率はpである。
②' A'がCに勝つ確率はqである。ただし、q$\small\sf{\begin{align*}\sf\lt\frac{1}{2}\end{align*}}$ である。
③' A'がDに勝つ確率は$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}\end{align*}}$ である。
春の大会でA'が優勝する確率が$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{49}{100}\end{align*}}$ であり、秋の大会でA'が優勝する確率が
$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{23}{75}\end{align*}}$ であるならば、p= キ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア 6 イ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{9}\end{align*}}$ ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{6}\end{align*}}$ エ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{29}{72}\end{align*}}$ オ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{9}\end{align*}}$
カ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{13}{54}\end{align*}}$ キ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{4}{5}\end{align*}}$
【解説】
ア
$\scriptsize\sf{_4C_2=\underline{6}}$ 通り
イ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\underline{\frac{1}{9}}\end{align*}}$
ウ
AがBとDに勝ち、Cに負ける確率
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{3}\cdot\left(1-\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{1}{2}=\frac{2}{9}\end{align*}}$
Cが全勝しない、すなわちBとD相手に2勝しない確率
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\end{align*}}$
以上より、AがCのみに負け、Cが全勝しない確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{9}\cdot\frac{3}{4}=\underline{\frac{1}{6}}\end{align*}}$
エ
春の大会でAが優勝するのは、次の4パターン
・Aが全勝する･･･$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{9}\end{align*}}$
・AがCのみに負け、Cが全勝しない･･･$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{6}\end{align*}}$
・AがBのみに負け、Bが全勝しない･･･$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1-\frac{2}{3}\right)\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\times\left(1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{24}\end{align*}}$
・AがDのみに負け、Dが全勝しない･･･$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\left(1-\frac{1}{2}\right)\times\left(1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{12}\end{align*}}$
以上より、春の大会でAが優勝する確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{9}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{12}=\underline{\frac{29}{72}}\end{align*}}$
オ
Aが1回戦でBと対戦する確率は $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{_3C_1}=\frac{1}{3}\end{align*}}$ であり、Aが1回戦に勝つ確率は $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{3}\end{align*}}$
1回戦でCがDに勝つ確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}\end{align*}}$
以上より、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{9}\end{align*}}$
カ
秋の大会でAが優勝するのは、次の6パターン
・Aが1回戦でBに、2回戦でCに勝って優勝する確率
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{9}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{27}\end{align*}}$
・Aが1回戦でBに、2回戦でDに勝って優勝する確率
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{18}\end{align*}}$
・Aが1回戦でCに、2回戦でBに勝って優勝する確率
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{27}\end{align*}}$
・Aが1回戦でCに、2回戦でDに勝って優勝する確率
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{36}\end{align*}}$
・Aが1回戦でDに、2回戦でBに勝って優勝する確率
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{18}\end{align*}}$
・Aが1回戦でDに、2回戦でCに勝って優勝する確率
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{36}\end{align*}}$
以上より、秋の大会でAが優勝する確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{27}+\frac{1}{18}+\frac{1}{27}+\frac{1}{36}+\frac{1}{18}+\frac{1}{36}=\underline{\frac{13}{54}}\end{align*}}$
キ
春の大会でA'が優勝するのは、次の4パターン
・A'が全勝する･･･$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cdot\frac{1}{2}pq\end{align*}}$
・A'がBのみに負け、Bが全勝しない･･･$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1-p\right)\cdot q\cdot\frac{1}{2}\times\left(1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{8}(1-p)q\end{align*}}$
・A'がCのみに負け、Cが全勝しない･･･$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p\cdot\left(1-q\right)\cdot\frac{1}{2}\times\left(1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{8}p(1-q)\end{align*}}$
・A'がDのみに負け、Dが全勝しない･･･$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p\cdot q\cdot\left(1-\frac{1}{2}\right)\times\left(1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{8}pq\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}pq+\frac{3}{8}(1-p)q+\frac{3}{8}p(1-q)+\frac{3}{8}pq=\frac{49}{100}\ \ \Leftrightarrow\ \ pq+3(p+q)=\frac{98}{25}\end{align*}}$ ･･････(i)
秋の大会でA'が優勝するのは、次の6パターン
・A'が1回戦でBに、2回戦でCに勝って優勝する確率
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\cdot p\times\frac{1}{2}\times q=\frac{1}{6}pq\end{align*}}$
・A'が1回戦でBに、2回戦でDに勝って優勝する確率
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\cdot p\times\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{12}p\end{align*}}$
・A'が1回戦でCに、2回戦でBに勝って優勝する確率
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\cdot q\times\frac{1}{2}\times q=\frac{1}{6}pq\end{align*}}$
・A'が1回戦でCに、2回戦でDに勝って優勝する確率
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\cdot q\times\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{12}q\end{align*}}$
・A'が1回戦でDに、2回戦でBに勝って優勝する確率
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times p=\frac{1}{12}p\end{align*}}$
・A'が1回戦でDに、2回戦でCに勝って優勝する確率
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times q=\frac{1}{12}q\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{6}pq+\frac{1}{12}p+\frac{1}{6}pq+\frac{1}{12}q+\frac{1}{12}p+\frac{1}{12}q=\frac{23}{75}\ \ \Leftrightarrow\ \ 2pq+(p+q)=\frac{46}{25}\end{align*}}$ ･･････(ii)
(i)、(ii)を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p+q=\frac{6}{5}, \ \ \ pq=\frac{8}{25}\end{align*}}$
解と係数の関係より、pとqはtについての二次方程式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t^2-\frac{6}{5}t+\frac{8}{25}=0\end{align*}}$
の2解、すなわち、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{2}{5}\ ,\ \frac{4}{5}\end{align*}}$ であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q\lt\frac{1}{2}\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=\underline{\frac{4}{5}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/02/08(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .立命館大 理系 2019(2/2)
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