第1問
以下、極形式の偏角はすべて0以上$\small\sf{2\pi}$ 未満である。
(１) 2次方程式z2+2z+2=0の2つの解のうち、虚部が正であるものをz1、
負であるものをz2とおく。それぞれを極形式で表すと、
z1= ア 、 z2= イ
(２) wを複素数とする。wがw2=z1を満たすとき、wを極形式で表すと、
w= ウ 、 エ
となる。また、wがw2=z2を満たすとき、wを極形式で表すと、
w= オ 、 カ
となる。これら4つの複素数を、偏角が小さい順にw1、w2、w3、w4とする。
各wk （ｋ＝1，2，3，4）は、wの4次方程式 キ =0の解となる。
ここで、 キ はw4の係数が1であるwについて整理された多項式である。
また、w1+w2+w3+w4= ク 、 w1w2w3w4= ケ 、
w12+w22= コ である。
(３) 複素数平面上の3点0、z1、w1を頂点とする三角形の面積をS1、
3点0、z2、w2を頂点とする三角形の面積をS2とおくと、
S22= サ 、 $\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{S_1}{S_2}=\end{align*}}$ シ
である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\sqrt2\left(\cos\frac{3}{4}\pi+i\sin\frac{3}{4}\pi\right)\end{align*}}$ イ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\sqrt2\left(\cos\frac{5}{4}\pi+i\sin\frac{5}{4}\pi\right)\end{align*}}$ ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{3}{8}\pi+i\sin\frac{3}{8}\pi\right)\end{align*}}$
エ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{11}{8}\pi+i\sin\frac{11}{8}\pi\right)\end{align*}}$ オ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{5}{8}\pi+i\sin\frac{5}{8}\pi\right)\end{align*}}$ カ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{13}{8}\pi+i\sin\frac{13}{8}\pi\right)\end{align*}}$
キ $\scriptsize\sf{w^4+2w^2+2}$ ク 0 ケ 2 コ $\scriptsize\sf{-2}$ サ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{\sqrt2+1}{4}\end{align*}}$ シ 1
【解説】
ア 、 イ
$\scriptsize\sf{z^2+2z+2=0}$ ･･････(i) の解は$\scriptsize\sf{z=-1\pm i}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_1&=\sf -1+i \\ &=\sf\sqrt{2}\left(-\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}i\right) \\ &=\sf \underline{\sqrt2\left(\cos\frac{3}{4}\pi +i\sin\frac{3}{4}\pi\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_2&=\sf -1-i \\ &=\sf\sqrt{2}\left(-\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}i\right) \\ &=\sf \underline{\sqrt2\left(\cos\frac{5}{4}\pi +i\sin\frac{5}{4}\pi\right)}\end{align*}}$
ウ 、 エ
$\scriptsize\sf{w=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\ \ \left(r\gt 0\ ,\ \ 0\leqq\theta\lt 2\pi\right)}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w^2=z_1\ \ \Leftrightarrow\ \ r^2\left(\cos 2\theta+i\sin 2\theta\right)=\sqrt2\left(\cos\frac{3}{4}\pi +i\sin\frac{3}{4}\pi\right)\end{align*}}$
両辺の絶対値と偏角を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r^2=\sqrt2\ ,\ \ 2\theta=\frac{3}{4}\pi+2k\pi\ \ \left(k=0,1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r=\sqrt[4]{2}\ (\gt 0)\ ,\ \ \theta=\frac{3}{8}\pi,\ \frac{11}{8}\pi\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w=\underline{\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{3}{8}\pi+i\sin\frac{3}{8}\pi\right)\ ,\ \ \sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{11}{8}\pi+i\sin\frac{11}{8}\pi\right)}\end{align*}}$
オ 、 カ
$\scriptsize\sf{w=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\ \ \left(r\gt 0\ ,\ \ 0\leqq\theta\lt 2\pi\right)}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w^2=z_2\ \ \Leftrightarrow\ \ r^2\left(\cos 2\theta+i\sin 2\theta\right)=\sqrt2\left(\cos\frac{5}{4}\pi +i\sin\frac{5}{4}\pi\right)\end{align*}}$
両辺の絶対値と偏角を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r^2=\sqrt2\ ,\ \ 2\theta=\frac{5}{4}\pi+2k\pi\ \ \left(k=0,1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r=\sqrt[4]{2}\ (\gt 0)\ ,\ \ \theta=\frac{5}{8}\pi,\ \frac{13}{8}\pi\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w=\underline{\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{5}{8}\pi+i\sin\frac{5}{8}\pi\right)\ ,\ \ \sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{13}{8}\pi+i\sin\frac{13}{8}\pi\right)}\end{align*}}$
キ
ウ～カより
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w_1=\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{3}{8}\pi+i\sin\frac{3}{8}\pi\right)\ ,\ \ w_2=\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{5}{8}\pi+i\sin\frac{5}{8}\pi\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w_3=\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{11}{8}\pi+i\sin\frac{11}{8}\pi\right)\ ,\ \ w_4=\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{13}{8}\pi+i\sin\frac{13}{8}\pi\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{z_1\ (=w_1^2)}$ は(i)の解なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_1^2+2z_1+2=0&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(w_1^2\right)^2+2w_1^2+2=0 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf w_1^4+2w_1^2+2=0 \end{align*}}$
同様に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w_2^4+2w_2^2+2=w_3^4+2w_3^2+2=w_4^4+2w_4^2+2=0 \end{align*}}$
が成り立つので、$\scriptsize\sf{w_1,\ w_2,\ w_3,\ w_4}$ はwについての4次方程式
$\scriptsize\sf{\underline{w^4+2w^2+2=0}}$ ･･････(ii)
の解となる。
ク 、 ケ
(ii)の左辺は
$\scriptsize\sf{w^4+2w^2+2=(w-w_1)(w-w_2)(w-w_3)(w-w_4)}$
と因数分解できるので、両辺のw3の係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{w_1+w_2+w_3+w_4=\underline{0}}$
定数項を比較すると、
$\scriptsize\sf{w_1w_2w_3w_4=\underline{2}}$
コ
(i)の解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{w_1^2+w_2^2=z_1+z_2=\underline{-2}}$
サ
複素数平面上で0、z1、w1に対応する点をそれぞれO、P1、Q1とすると、
$\scriptsize\sf{OP_1=\sqrt2\ ,\ \ OQ_1=\sqrt[4]{2}\ ,\ \ \angle Q_1OP_1=\frac{3}{4}\pi-\frac{3}{8}\pi=\frac{3}{8}\pi}$
なので、半角公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_1^2&=\sf\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt2\cdot \sqrt[4]{2}\cdot\sin\frac{3}{8}\pi\right)^2 \\ &=\sf \frac{\sqrt2}{2}\sin^2\frac{3}{8}\pi\\ &=\sf \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{1-\cos\frac{3}{4}\pi}{2}\\ &=\sf \underline{\frac{\sqrt2+1}{4}}\end{align*}}$
シ
複素数平面上で0、z2、w2に対応する点をそれぞれO、P2、Q2とすると、
$\scriptsize\sf{OP_2=\sqrt2\ ,\ \ OQ_2=\sqrt[4]{2}\ ,\ \ \angle Q_2OP_2=\frac{5}{4}\pi-\frac{5}{8}\pi=\frac{5}{8}\pi}$
なので、半角公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_2^2&=\sf\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt2\cdot \sqrt[4]{2}\cdot\sin\frac{5}{8}\pi\right)^2 \\ &=\sf \frac{\sqrt2}{2}\sin^2\frac{5}{8}\pi\\ &=\sf \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{1-\cos\frac{5}{4}\pi}{2}\\ &=\sf \frac{\sqrt2+1}{4}\\ &=\sf S_1^2\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{S_1}{S_2}=\underline{1}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/02/05(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .立命館大 理系 2019(2/2)
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
<<
2019立命館大 理系（2月2日） 数学２ |
ホーム |
2019関西学院大 理系（全学日程） 数学４>>
- トラックバック URL
- http://aozemi.blog.fc2.com/tb.php/3005-2a44c52d
- この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
