第1問
次の文章中の に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号の
ついた の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。
(１) 複素数 $\small\sf{z=\sqrt3+i}$ の絶対値は ア である。その偏角$\small\sf{\theta}$ は、$\small\sf{0\leqq\theta\lt 2\pi}$ の範囲で考えると、
$\small\sf{\theta=}$ イ である。また、$\small\sf{z^6=}$ ウ 、$\small\sf{\begin{align*}\sf z^3+\frac{1}{z^3}=\end{align*}}$ エ である。
(２) $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{-7x^2+11x-16}{x(x-1)^2}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{(x-1)^2}\end{align*}}$ がxについての恒等式となるように定数a、b、cを
定めると、a= オ 、b= カ 、c= キ である。
(３) |x|＜1のとき $\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^n+3}{x^{n+1}+1}=\end{align*}}$ ク であり、|x|＞1のとき$\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^n+3}{x^{n+1}+1}=\end{align*}}$ ケ で
ある。また、極限$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)\end{align*}}$ の値は コ である。
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【解答】
ア 2 イ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{\pi}{6} \end{align*}}$ ウ $\scriptsize\sf{-64}$ エ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{63}{8}i\end{align*}}$ オ $\scriptsize\sf{-16}$
カ $\scriptsize\sf{9}$ キ $\scriptsize\sf{-12}$ ク 3 ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{x}\end{align*}}$ コ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}\end{align*}}$
【解説】
(ア)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |z|=\sqrt{\left(\sqrt3\right)^2+1^2}=\underline{2}\end{align*}}$
(イ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z&=\sf 2\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}i\right) \\ &=\sf 2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \theta=\arg z=\underline{\frac{\pi}{6}}\end{align*}}$
(ウ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z^6&=\sf 2^6\left(\cos 6\theta+i\sin 6\theta\right) \\ &=\sf 64\left(\cos\pi+i\sin\pi\right)\\ &=\sf \underline{-64}\end{align*}}$
(エ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z^3&=\sf 2^3\left(\cos 3\theta+i\sin 3\theta\right) \\ &=\sf 8\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)\\ &=\sf 8i\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z^3+\frac{1}{z^3}=8i+\frac{1}{8i}=\underline{\frac{63}{8}i} \end{align*}}$
(オ)～(キ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{-7x^2+11x-16}{x(x-1)^2}&=\sf \frac{a(x-1)^2+bx(x-1)+cx}{x(x-1)^2}\\ &=\sf \frac{(a+b)x^2+(-2a-b+c)x+a}{x(x-1)^2} \end{align*}}$
両辺の係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{eqnarray}\begin{cases}\sf a+b=-7 \\ \sf -2a-b+c=11 \\ \sf a=-16 \end{cases}\end{eqnarray}}$
となり、これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{a=-16\ ,\ \ b=9\ ,\ \ c=-12}\end{align*}}$
(ク)
|x|＜1のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}x^n=0\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^n+3}{x^{n+1}+1}=\frac{0+3}{0+1}=\underline{3}\end{align*}}$
(ケ)
|x|＞1のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{x^n}=0\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^n+3}{x^{n+1}+1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1+\frac{3}{x^n}}{x+\frac{1}{x^n}}=\underline{\frac{1}{x}}\end{align*}}$
(コ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)&=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)\left(\sqrt{n^2+n}+n\right)}{\sqrt{n^2+n}+n} \\ &=\sf\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n} \\ &=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}\\ &=\sf \frac{1}{\sqrt{1+0}+1}\\ &=\sf \underline{\frac{1}{2}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/02/01(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西学院大 理系 2019(全学)
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