第2問
zは0でない複素数とし、
$\small\sf{\begin{align*}\sf \alpha=\frac{3}{4}\left(z+\overline{z}\right)\ ,\ \ \beta=\frac{3}{4}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{\overline{z}}\right) \end{align*}}$
とおく。ただしz はzに共役な複素数である。
(1) $\small\sf{\begin{align*}\sf \beta=0\end{align*}}$ となるzはどのような複素数か述べよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*}\sf \alpha\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*}\sf \beta\end{align*}}$ がともに自然数となるzをすべて求めよ。
(3) 複素数平面上において、(2)で求めたzに対応する点のすべてを周または内部に
含む円を考え、そのような円のうち最小の面積をもつものをCとする。Cの中心を
表す複素数とCの半径を求めよ。
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \beta=\frac{3\left(z+\overline{z}\right)}{4z\ \overline{z}}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \ z+\overline{z}=0\end{align*}}$
となるので、zは純虚数である。
(２)
x、yを実数として、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z=x+yi\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha=\frac{3}{4}\left\{(x+yi)+(x-yi)\right\}=\frac{3}{2}x\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{2}{3}\alpha\end{align*}}$ ･･････(i)
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \beta&=\sf\frac{\alpha}{z\ \overline{z}} \\ &=\sf \frac{\alpha}{x^2+y^2}\\ &=\sf \frac{\alpha}{\left(\frac{2}{3}\alpha\right)^2+y^2}\ \ \ \ \left(\because\ (i)\right)\\ &=\sf \frac{9\alpha}{4\alpha^2+9y^2}\ \cdots\cdots\cdots (ii)\end{align*}}$
であり、これが自然数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \beta=\frac{9\alpha}{4\alpha^2+9y^2}\geqq 1&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 4\alpha^2+9y^2-9\alpha\leqq 0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(\alpha-\frac{9}{8}\right)^2\leqq \left(\frac{9}{8}\right)^2-\frac{9}{4}y^2\\ &\ \ \Rightarrow\ \ \sf \left(\alpha-\frac{9}{8}\right)^2\leqq \left(\frac{9}{8}\right)^2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 0\leqq \alpha\leqq\frac{9}{4}\end{align*}}$
これを満たす自然数$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\alpha\end{align*}}$ の値は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\alpha=1\end{align*}}$ または$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\alpha=2\end{align*}}$
・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\alpha=1\end{align*}}$ すなわち、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{2}{3}\end{align*}}$ のとき、(ii)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \beta=\frac{9}{4+9y^2}\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\pm\frac{1}{3}\sqrt{\frac{9}{\beta}-4}\end{align*}}$
となり、根号の中が0以上になるような自然数 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\beta\end{align*}}$ を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \beta=1\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\pm\frac{\sqrt5}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \beta=2\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\pm\frac{\sqrt2}{6}\end{align*}}$
・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\alpha=2\end{align*}}$ すなわち、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{4}{3}\end{align*}}$ のとき、(ii)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \beta=\frac{18}{16+9y^2}\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\pm\frac{1}{3}\sqrt{\frac{18}{\beta}-16}\end{align*}}$
となり、根号の中が0以上になるような自然数 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\beta\end{align*}}$ を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \beta=1\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\pm\frac{\sqrt2}{3}\end{align*}}$
以上より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha,\ \beta\end{align*}}$ がともに自然数となるようなzの値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z=\underline{\frac{2}{3}\pm\frac{\sqrt5}{3}i\ ,\ \ \frac{2}{3}\pm\frac{\sqrt2}{6}i\ ,\ \ \frac{4}{3}\pm\frac{\sqrt2}{3}i}\end{align*}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_1=\frac{2}{3}+\frac{\sqrt5}{3}i\ ,\ \ z_2=\frac{2}{3}+\frac{\sqrt2}{6}i\ ,\ \ z_3=\frac{4}{3}+\frac{\sqrt2}{3}i \end{align*}}$
とおき、複素平面上で$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_1,\ z_2,\ z_3,\ \overline{z_1},\ \overline{z_2},\ \overline{z_3}\end{align*}}$に対応する点をそれぞれ
P1、P2、P3、Q1、Q2、Q3とおく。
P1とQ1、P2とQ2、P3とQ3はそれぞれ実軸について対称なので、
Cの中心は実軸上にある。
Cの半径をr （＞0）、中心をTとおき、T対応する複素数をt（実数）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_2 T^2=\left(t-\frac{2}{3}\right)^2+\left(\frac{\sqrt2}{6}\right)^2\lt\left(t-\frac{2}{3}\right)^2+\left(\frac{\sqrt5}{3}\right)^2=P_1 T^2 \end{align*}}$
なので、P2はCの内部にあり、P1とP3の円周上にある。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_1 T^2=\left(t-\frac{2}{3}\right)^2+\left(\frac{\sqrt5}{3}\right)^2=r^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_3 T^2=\left(t-\frac{4}{3}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=r^2\end{align*}}$
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{t=\frac{3}{4}\ ,\ \ r=\frac{3}{4}}\end{align*}}$
となる。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/01/29(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .京都府立医大 2016
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