第4問
xy平面上でx座標とy座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ。すべての整数$\small\sf{\begin{align*}\it l\end{align*}}$、mに対し、
直線x=$\small\sf{\begin{align*}\it l\end{align*}}$ と直線y=mを引き、xy平面を格子点を頂点とする一辺の長さが1の正方形の集
まりに分割する。その一つ一つの正方形（格子点を頂点とする1辺の長さが1の正方形）の
内部を区画と呼ぶ。正の実数kに対して原点を通る直線Lk： y=kxをとり、Lkが通る区画
について考える。ここでLkが区画を通るとは、直線Lkと区画が共有点をもつことをいう。
自然数nに対して、不等式n-1＜x＜nで表されるxy平面上の領域をDnとする。Dnに含まれ、
直線Lkが通る区画の個数をanとおく。
以下kは無理数とする。
(1) 直線Lkは原点以外に格子点を通らないことを証明せよ。
(2) k＜an＜k+ 2であることを証明せよ。
(3) Nを自然数とするとき、極限 $\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Na_n\end{align*}}$ を求めよ．
(4) 0＜k＜1とする。自然数Nに対し、N以下の自然数nで an≧k+1 となるnの個数を
ANとおく。極限 $\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{A_N}{N}\end{align*}}$ を求めよ。
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【解答】
(１)
Lkが格子点(p，q) （p、q：整数）を通ると仮定すると、q=kp.
p=0のとき、q=0となり点(p，q)は原点と一致する。
p≠0のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k=\frac{q}{p}\end{align*}}$ となるが、左辺は無理数、右辺は有理数なので矛盾する。
以上より、Lkは原点以外の格子点を通らない。
(２)
以下、実数Xを超えない最大の整数を[X]で表す。
また、Lkと直線x=mとの交点をPm(m，km)とおき、
連立不等式 $\scriptsize\sf{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \sf s\lt x\lt s+1 \\ \sf t\lt y\lt t+1 \end{array} \right.\end{eqnarray}}$ で表される区画を区画{s，t}を表すことにする。
線分$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_{n-1}P_n\end{align*}}$ は区画
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \{n-1,\ [k(n-1)]\}\ ,\ \{n-1,\ [k(n-1)+1]\} \ ,\ \cdots \ ,\ \{n-1,\ [kn]\}\end{align*}}$
を通過するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n=[kn]-[k(n-1)]+1\end{align*}}$ ･･････(#)
ここで、
$\scriptsize\sf{kn-1\lt [kn]\lt kn}$
$\scriptsize\sf{k(n-1)-1\lt [k(n-1)]\lt k(n-1)}$
なので、
$\scriptsize\sf{kn-1-k(n-1)+1\lt a_n\lt kn-\{k(n-1)-1\}+1}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ k\lt a_n\lt k+2}$
(3)
(#)はn=1，2，･･･，Nに対して成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{n=1}^N a_n&=\sf \sum_{n=1}^N \left\{[kn]-[k(n-1)]+1\right\} \\ &=\sf \left([k]-[0]+1\right)+\left([2k]-[k]+1\right)+\left([3k]-[2k]+1\right)+\cdots +\left\{[kN]-[k(N-1)]+1\right\}\\ &=\sf [kN]-[0]+N\\ &=\sf [kN]+N\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (kN-1)+N\lt\sum_{n=1}^N a_n\lt kN+N \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k-\frac{1}{N}+1\lt\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N a_n\lt k+1\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{N}=0\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Na_n=\underline{k+1}\end{align*}}$
(４)
0＜k＜1と(2)より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt a_n\lt 3\end{align*}}$ なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n\geqq k+1\end{align*}}$ となるのは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n=2\end{align*}}$ となるときである。
・ nが$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf [kn]=[k(n-1)]\end{align*}}$ を満たすとき
線分$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_{n-1}P_n\end{align*}}$ は区間 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \{n-1,\ [k(n-1)]\}\end{align*}}$ のみを通過するので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n=1\end{align*}}$
・ nが$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf [kn]=[k(n-1)]+1\end{align*}}$ を満たすとき
線分$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_{n-1}P_n\end{align*}}$ は、x軸と平行な直線$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=[k(N-1)]\end{align*}}$ と交わり、
区画$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \{n-1,\ [k(n-1)]\}\end{align*}}$ と区画$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \{n-1,\ [kn]\}\end{align*}}$ を通過するので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n=2\end{align*}}$
線分$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OP_N\end{align*}}$ は、x軸と平行な直線
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=1\ ,\ \ y=2\ ,\ \ \cdots ,\ y=[kN]\end{align*}}$
と交わり、これらの本数は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf [kN]\end{align*}}$ 本なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A_N=[kN]\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf kN-1\lt A_N\lt kN\ \ \Leftrightarrow\ \ k-\frac{1}{N}\lt \frac{A_N}{N}\lt k\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{N}=0\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{A_N}{N}=\underline{k}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/01/31(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .京都府立医大 2016
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