2018センター試験 数学Ⅱ・B 4

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【解答】

　　ア　 ～　イ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AB}=\overrightarrow{\sf FB}-\overrightarrow{\sf FA}=\underline{\overrightarrow{\sf q}-\overrightarrow{\sf p}} \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf AB}|^2=|\overrightarrow{\sf q}-\overrightarrow{\sf p}|^2=\underline{|\overrightarrow{\sf p}|^2-2\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}+|\overrightarrow{\sf q}|^2} \end{align*}}$

　　ウ　 ～　カ　
　　　　Dは辺ABを1：3に内分する点なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf FD}=\underline{\frac{3}{4}\overrightarrow{\sf p}+\frac{1}{4}\overrightarrow{\sf q}} \end{align*}}$

　　キ　 ～　ケ　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf FD}=\frac{3}{4}\overrightarrow{\sf p}+\frac{1}{4}\overrightarrow{\sf q}=s\overrightarrow{\sf r} \end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf q}=\underline{-3\overrightarrow{\sf p}+4s\overrightarrow{\sf r}}\end{align*}}$

　　コ　 ～　シ　
　　　　　Eは辺BCを $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a:(1-a)\end{align*}}$ に内分する点なので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf FE}=(1-a)\overrightarrow{\sf q}+a\overrightarrow{\sf r}=t\overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf q}=\underline{\frac{t}{1-a}\overrightarrow{\sf p}-\frac{a}{1-a}\overrightarrow{\sf r}}\end{align*}}$

　　ス　 ～　チ　
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf q}\end{align*}}$ は一次独立なので、係数を比較すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -3=\frac{t}{1-a}\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\underline{-3(1-a)} \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 4s=-\frac{a}{1-a}\ \ \Leftrightarrow\ \ s=\underline{\frac{-a}{4(1-a)}}\end{align*}}$

　　ツ　 ～　テ　
　　　　③より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}&=\sf \frac{1}{4s}\left(3\overrightarrow{\sf p}+\overrightarrow{\sf q}\right) \\ &=\sf -\frac{1-a}{a}\left(3\overrightarrow{\sf p}+\overrightarrow{\sf q}\right)\end{align*}}$
　　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf BE}|^2&=\sf |a\overrightarrow{\sf BC}|^2 \\ &=\sf a^2\left|\overrightarrow{\sf r}-\overrightarrow{\sf q}\right|^2\\ &=\sf a^2\left|-\frac{1-a}{a}\left(3\overrightarrow{\sf p}+\overrightarrow{\sf q}\right)-\overrightarrow{\sf q}\right|^2\\ &=\sf \left|3(1-a)\overrightarrow{\sf p}+\overrightarrow{\sf q}\right|^2\\ &=\sf \underline{9(1-a)^2+6(1-a)\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}+|\overrightarrow{\sf q}|^2}\ \ \ \ \left(\because\ |\overrightarrow{\sf p}|=1\right) \end{align*}}$


　　ト　 ～　ヌ　
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf AB}|^2=|\overrightarrow{\sf BE}|^2\end{align*}}$ なので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-2\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}+|\overrightarrow{\sf q}|^2=9(1-a)^2+6(1-a)\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}+|\overrightarrow{\sf q}|^2\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ (6a-8)\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}=9a^2-18a+8\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ 2(3a-4)\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}=(3a-4)(3a-2)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}=\underline{\frac{3a-2}{2}}\end{align*}}$