2018センター試験 数学Ⅱ・B 3

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【解答】

　　ア　 ～　キ　
　　　　初項をa、公差をdとおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_4=a+3d=30&=\sf \\ &=\sf \\ &=\sf \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_8=\frac{1}{2}\cdot 8(2a+7d)=288\end{align*}}$
　　　　これらを連立させて解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{a=-6\ ,\ \ d=12} \end{align*}}$
　　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n=\frac{1}{2}n\left\{2\cdot (-6)+12(n-1)\right\}=\underline{6n^2-12n} \end{align*}}$

　　ク　 ～　ス　
　　　　初項をb、公比をr （＞1）とおくと、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_2=br=36\ \ \Leftrightarrow\ \ b=\frac{36}{r} \end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T_3=b+br+br^2=156\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{36}{r}(1+r+r^2)=156\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ 3r^2-10r+3=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ r=3\ ,\ \frac{1}{3}\end{align*}}$
　　　　r＞1なので
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r=\underline{3}\ ,\ \ b=\frac{36}{3}=\underline{12}\end{align*}}$


　　セ　 ～　チ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf d_n&=\sf c_{n+1}-c_n \\ &=\sf \sum_{k=1}^{n+1}\left\{(n+1)-k+1\right\}(a_k-b_k)-\sum_{k=1}^{n}(n-k+1)(a_k-b_k)\\ &=\sf \left\{\sum_{k=1}^{n}(n-k+2)(a_k-b_k)\right\}+(a_{n+1}-b_{n+1})-\sum_{k=1}^{n}(n-k+1)(a_k-b_k)\\ &=\sf \left\{\sum_{k=1}^{n}(a_k-b_k)\right\}+(a_{n+1}-b_{n+1})\ \ \ \ \ \ \bigg(\because\ (n-k+2)-(n-k+1)=1\bigg)\\ &=\sf \sum_{k=1}^{n+1}(a_k-b_k)\\ &=\sf \sum_{k=1}^{n+1}a_k-\sum_{k=1}^{n+1}b_k\\ &=\sf \underline{S_{n+1}-T_{n+1}}\\ &=\sf \left\{6(n+1)^2-12(n+1)\right\}-6(3^{n+1}-1)\\ &=\sf \underline{6n^2-2\cdot 3^{n+2}} \end{align*}}$


　　ツ　 ～　ネ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c_1&=\sf a_1-b_1 \\ &=\sf -6-12\\ &=\sf \underline{-18}\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n\geqq 2\end{align*}}$ のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c_n&=\sf c_1+\sum_{k=1}^{n-1}d_k \\ &=\sf -18+\sum_{k=1}^{n-1}\left(6k^2-2\cdot 3^{k+2}\right)\\ &=\sf -18+\frac{6}{6}n(n-1)(2n-1)-\frac{2\cdot 3^3(3^{n-1}-1)}{3-1}\\ &=\sf \underline{2n^3-3n^2+n+9-3^{n+2}}\end{align*}}$
　　　　これは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n=1\end{align*}}$ のときも成り立つ。