2018センター試験 数学Ⅱ・B 2[1]

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【解答】

　　ア　
　　　　直線 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ell :\ y=2x-1\end{align*}}$ の傾きは2

　　イ　 ～　エ　
　　　　導関数は $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y'=2px+q \end{align*}}$ なので、A(1，1)におけるCの接線の傾きを考えると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2p+q=2\ \ \Leftrightarrow\ \ q=\underline{-2p+2} \end{align*}}$
　　　　さらに、CはAを通るので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1=p+q+r\ \ \Leftrightarrow\ \ r&=\sf 1-p-q \\ &=\sf 1-p-(-2p+2)\\ &=\sf\underline{p-1} \end{align*}}$

　　カ　 ～　ケ　
　　　　Cと $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ell\end{align*}}$ の位置関係は図のようになるので、
　　　　(Sは水色部分の面積）
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf\int_1^v\left\{\left(px^2+qx+r\right)-\left(2x-1\right)\right\}dx \\ &=\sf \int_1^v\left\{px^2+(q-2)x+r+1\right\}dx\\ &=\sf \int_1^v\left(px^2-2px+p\right)dx\\ &=\sf p\int_1^v(x-1)^2dx\\ &=\sf p\left[\frac{1}{3}(x-1)^3\right]_1^v\\ &=\sf \frac{p}{3}(v-1)^3\\ &=\sf \underline{\frac{p}{3}(v^3-3v^2+3v-1)}\end{align*}}$

　　コ　
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ell\end{align*}}$ とx軸の位置関係は図のようになるので、
　　　　(Tはピンク色部分の面積）
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T&=\sf\int_1^v(2x-1)dx \\ &=\sf \big[\ x^2-x\ \big]_1^v\\ &=\sf \underline{v^2-v}\end{align*}}$

　　サ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf U&=\sf S-T \\ &=\sf \frac{p}{3}(v^3-3v^2+3v-1)-(v^2-v)\\ &=\sf \frac{p}{3}v^3-(p+1)v^2+(p+1)v-\frac{p}{3}\end{align*}}$
　　　　vで微分すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dU}{dv}=\sf pv^2-2(p+1)v+p+1 \end{align*}}$
　　　　これが$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf v=2 \end{align*}}$ で0になればよいので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dU}{dv}\bigg| _{v=2}=4p-4(p+1)+p+1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\underline{3} \end{align*}}$
　　　　（十分性を調べる必要がありますが無視です笑）


　　シ　 ～　ソ　
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=3\end{align*}}$ のとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf U&=\sf v^3-4v^2+4v-1 \\ &=\sf (v-1)(v^2-3v+1) \end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf U=0\ \ \Leftrightarrow\ \ v=1\ ,\ \frac{3\pm\sqrt5}{2}\end{align*}}$
　　　　であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf v_0\gt 1\end{align*}}$ より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf v_0=\underline{\frac{3+\sqrt5}{2}}\end{align*}}$
　　　　また、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{3-\sqrt5}{2}\lt 1\lt\frac{3+\sqrt5}{2}\end{align*}}$
　　　　なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1\lt v\lt v_0 \end{align*}}$ の範囲でUは常に負の値のみをとる。③
　　　　

　　タ　 ～　チ　
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=3\end{align*}}$ のとき、Uをvで微分すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dU}{dv}=3v^2-8v+4=(3v-2)(v-2)\end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1\lt v\lt 2 \end{align*}}$ の範囲で $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dU}{dv}\lt 0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf v=2 \end{align*}}$ で $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dU}{dv}=0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\lt v \end{align*}}$ の範囲で $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dU}{dv}\gt 0\end{align*}}$
　　　　よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf v=2\end{align*}}$ のときUは最小となり、その値は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf U_{min}=2^3-4\cdot 2^2+4\cdot 2-1=\underline{-1 }\end{align*}}$