2018センター試験 数学Ⅰ・A 4

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【解答】

　　ア　 ～　エ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{144=\underline{2^4\times 3^2}}$
　　　　144の正の約数の個数は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{(4+1)\times (2+1)=\underline{15}}$ 個

　　カ　 ～　ク　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{144\cdot 2-7\cdot 41=1}$　　･･････①
　　　　なので、求めるx、yは
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\underline{x=2\ ,\ y=41}}$

　　 ケ　 ～　シ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{144x-7y=1}$　　　･･････②
　　　　と①の差をとると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{144(x-2)-7(y-41)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ 144(x-2)=7(y-41)}$
　　　　144と7は互いに素なので、整数kを用いて
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{x-2=7k\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\underline{7k+2}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{144\cdot 7k=7(y-41)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\underline{144k+41}}$

　　 ス　
　　　　144の倍数で、7で割ったら余りが1となる自然数をPとすると、
　　　　Pは整数x、yを用いて
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{P=144x=7y+1}$
　　　　と表すことができ、このx、yは②を満たすので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{P=144(7k+2)}$　
　　　　$\scriptsize\sf{k=0}$ のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{P=144\times 2=2^5\times 3^2}$
　　　　となり、Pの約数の個数は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{(5+1)\times (2+1)=18}$ 個
　　　　となるので、最小のものは$\scriptsize\sf{\underline{144\times 2}}$

　　 セ　～　ソ　
　　　　$\scriptsize\sf{k=1}$ のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{P=144\times 9=2^4\times 3^4}$
　　　　となり、Pの約数の個数は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{(4+1)\times (4+1)=25}$ 個

　　　　$\scriptsize\sf{k=2}$ のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{P=144\times 16=2^8\times 3^2}$
　　　　となり、Pの約数の個数は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{(8+1)\times (2+1)=27}$ 個

　　　　$\scriptsize\sf{k=3}$ のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{P=144\times 23=2^4\times 3^2\times 23}$
　　　　となり、Pの約数の個数は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{(4+1)\times (2+1)\times (1+1)=30}$ 個

　　　　以上より、求めるPの値は $\scriptsize\sf{￥underline{144\times 23}}$