2018センター試験 数学Ⅰ・A 1[3]

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【解答】

　　サ　 ～　シ　
　　　　$\scriptsize\sf{a\gt 0}$ より、与式を平方完成すると、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)&=\sf ax^2-2(a+3)x-3a+21\\ &=\sf a\left(x-\frac{a+3}{a}\right)^2-\frac{(a+3)^2}{a}-3a+21\\ &=\sf a\left\{x-\left(1+\frac{3}{a}\right)\right\}^2-4a-\frac{3}{a}+15\end{align*}}$　
　　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=\underline{1+\frac{3}{a}}\end{align*}}$

　　ス　
　　　　$\scriptsize\sf{a\gt 0}$ より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 4\leqq p=1+\frac{3}{a}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{1}{a}\geqq 1\\ &=\sf \underline{0\lt a\leqq 1}\end{align*}}$

　　セ　
　　　　$\scriptsize\sf{a\gt 0}$ より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq p\leqq 4&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 0\leqq 1+\frac{3}{a}\leqq 4\\ &=\sf -\frac{1}{3}\leqq \frac{1}{a}\leqq 1\\ &=\sf \underline{1\leqq a}\end{align*}}$

　　ソ　 ～　タ　
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt a\leqq 1 \end{align*}}$ のとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(4)=16a-8(a+3)-3a+21=1\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\underline{\frac{4}{5}} \end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1\leqq a\end{align*}}$ のとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(p)=-4a-\frac{3}{a}+15=1&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 4a^2-14a+3=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a=\underline{\frac{7+\sqrt{37}}{4}\ \ \left(\because\ a\geqq 1\right)}\end{align*}}$