2017センター試験 数学ⅡB 4

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【解答】

　　ア　 ～　ウ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf B\left(2\cos\frac{\pi}{3}\ ,\ 2\sin\frac{\pi}{3}\right)=\underline{\left(1\ ,\ \sqrt3\right)}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D\left(2\cos\pi\ ,\ 2\sin\pi\right)=\underline{\left(-2\ ,\ 0\right)}\end{align*}}$

　　エ　 ～　キ　
　　　　BDの中点M
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf M\left(\frac{1+(-2)}{2}\ ,\ \frac{\sqrt3+0}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2}\ ,\ \frac{\sqrt3}{2}\right) \end{align*}}$
　　　　より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\overrightarrow{\sf AM}=\left(-\frac{1}{2}\ ,\ \frac{\sqrt3}{2}\right)-\left(2,\ 0\right)=\underline{\left(-\frac{5}{2}\ ,\ \frac{\sqrt3}{2}\right)} \end{align*}}$

　　エ　 ～　キ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf C\left(2\cos\frac{2}{3}\pi\ ,\ 2\sin\frac{2}{3}\pi\right)=\left(-1\ ,\ \sqrt3\right)\end{align*}}$
　　　　より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\overrightarrow{\sf DC}=\left(-1\ ,\ \sqrt3\right)-\left(-2,\ 0\right)=\underline{\left(1\ ,\ \sqrt3\right)} \end{align*}}$

　　コ　 ～　ツ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf ON}=(2,\ 0)+r\left(-\frac{5}{2}\ ,\ \frac{\sqrt3}{2}\right)=\left(2-\frac{5}{2}r\ ,\ \frac{\sqrt3}{2}r\right) \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\overrightarrow{\sf ON}=\left(-2,\ 0\right)+s\left(1\ ,\ \sqrt3\right)=\left(-2+s\ ,\ \sqrt3\ s\right)\end{align*}}$
　　　　成分を比較すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2-\frac{5}{2}r=-2+s \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\sqrt3}{2}r=\sqrt3s \end{align*}}$
　　　　これらを連立させて解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{r=-\frac{4}{3}\ ,\ s=\frac{2}{3}} \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf ON}=\left(-2,\ 0\right)+\frac{2}{3}\left(1,\ \sqrt3\right)=\underline{\left(-\frac{4}{3}\ ,\ \frac{2\sqrt3}{3}\right)}\end{align*}}$

　　テ　 ～　ナ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\left(2\cos\frac{\pi}{3}\ ,\ a\pi\right)=\left(1\ ,\ a\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf E\left(2\cos\frac{4}{3}\pi\ ,\ 2\sin\frac{4}{3}\pi\right)=\left(-1\ ,\ -\sqrt3\right)\end{align*}}$
　　　　より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf EP}=\left(1\ ,\ a\right)-\left(-1\ ,\ -\sqrt3\right)=\underline{\left(2,\ a+\sqrt3\right)}\end{align*}}$

　　テ　 ～　ナ　
　　　　Hのx座標をhとおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CH}=\left(h\ ,\ a\right)-\left(-1\ ,\ \sqrt3\right)=\left(h+1,\ a-\sqrt3\right)\end{align*}}$
　　　　CH⊥EPなので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CH}\cdot\overrightarrow{\sf EP}=2\left(h+1\right)+\left(a+\sqrt3\right)\left(a-\sqrt3\right)=0\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2h+2+a^2-3=0=\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ h=\frac{-a^2+1}{2}\end{align*}}$
　　　　よって、Hの座標は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\left(\frac{-a^2+1}{2}\ ,\ a\right)}\end{align*}}$

　　ヒ　 ～　ヘ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OH}=\frac{-a^2+1}{2}+a^2=\sqrt{\left(\frac{-a^2+1}{2}\right)^2+a^2}\sqrt{1+a^2}\cos\theta\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{a^2+1}{2}=\frac{12}{13}\cdot\frac{a^2+1}{2}\sqrt{a^2+1}\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=\underline{\pm\frac{5}{12}}\end{align*}}$