2017センター試験 数学ⅡB 3

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【解答】

　　ア　 ～　イ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{s_1=1\ ,\ s_2=2\ ,\ s_3=4}$
　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{s_1s_2s_3=\underline{8}\ ,\ \ s_1+s_2+s_3=\underline{7}}$

　　ウ　 ～　ケ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{s_1=x\ ,\ s_2=xr\ ,\ s_3=xr^2}$
　　　　なので、①より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{s_1s_2s_3=x^3r^3=a^3\ \ \Leftrightarrow\ \ xr=\underline{a}}$
　　　　これと②より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{s_1+s_2+s_3=x(1+r+r^2)=b}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{a}{r}(1+r+r^2)=b\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{ar^2+(a-b)r+a=0}}$
　　　　これが実数解をもてばよいので、判別式を考えると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{D=(a-b)^2-4a^2\geqq 0}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{3a^2+2ab-b^2\leqq 0}}$

　　コ　 ～　シ　
　　　　④に$\scriptsize\sf{a=64\ ,\ b=336}$ を代入すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 64r^2-272r+64=16\left(r-4\right)\left(4r-1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ r=\underline{4}\ \ \left(\because\ r\gt 1\right)\end{align*}}$
　　　　これと③より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 4x=64\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\underline{16}\end{align*}}$

　　ス　 ～　セ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s_n=16\cdot 4^{n-1}=4^{n+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t_n&=\sf 4^{n+1}\log_44^{n+1}\\ &=\sf \underline{\left(n+1\right)\cdot 4^{n+1}} \end{align*}}$

　　ソ　 ～　ナ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{U_n=2\cdot 4^2+3\cdot 4^3+\cdots +(n+1)\cdot 4^{n+1}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{4U_n=2\cdot 4^3+3\cdot 4^4+\cdots +n\cdot t4^{n+1}+(n+1)\cdot 4^{n+2}}$
　　　　辺々差をとると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -3U_n&=\sf 2\cdot 4^2+4^3+4^4+\cdots 4^{n+1}-(n+1)\cdot 4^{n+2} \\ &=\sf 4^2+\left(4^2+4^3+4^4+\cdots 4^{n+1}\right)-(n+1)\cdot 4^{n+2}\\ &=\sf 16+\frac{4^2(4^n-1)}{4-1}-(n+1)\cdot 4^{n+2} \end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ U_n=\underline{\frac{3n+2}{9}\cdot 4^{n+2}-\frac{32}{9}}\end{align*}}$